常用偏微分方程（邮趣简说偏微分方程）

本文作者：郑英元

本文来源：《数学教学》

微积分对力学问题的应用引导出另一门新的数学分支 — 偏微分方程。

1747年，达朗贝尔(d'Alembert， 1717-1783)的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》可以说是偏微分方程方向的开创论文，在那里达朗贝尔导出了弦的振动所满足的偏微分方程并求出它的通解。

1749年，欧拉(Euler，1707-1783，图1是1957年瑞士纪念欧拉诞生250周年发行的邮票)发表的论文《论弦的振动》讨论了同样的问题，并沿用达朗贝尔的方法， 引进了初始条件下正弦级数的特解。

1785年拉普拉斯(Laplace，1749-1827)在论文《球状物体的引力理论与行星形状》中导出一类重要的偏微分方程 — 位势方程， 现在称为“拉普拉斯方程”。

到19世纪，随着物理学所研究的现象从力学向电学以及电磁学的扩展，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。

1822年， 法国数学家傅立叶(Fourier，1768-1830)发表的论文《热的解析理论》，研究了吸热或放热物体内部任何点处的温度变化随时间和空间的变化规律， 导出了三维空间的热传导方程。和常微分方程一样，求偏微分方程显式解的失败，促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题。

图 1

图 2

柯西(Cauchy，1789-1857，图2是1989年法国纪念柯西诞生200周年发行的邮票)是研究偏微分方程解的存在性的第一个人。 柯西的工作被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(Софья Васильевна Ковалевская，1850-1891， 图3是1951年前苏联纪念柯瓦列夫斯卡娅逝世60周年发行的邮票; 图4是1996年俄罗斯为欧罗巴杰出女性发行的邮票; 图5是1974年前苏联在普通邮资封上加印的科学家)发展为非常一般的形式，柯瓦列夫斯卡娅是历史上第一位女数学博士， 也是历史上第一位女科学院院士。曾任莫斯科大学校长的彼得罗夫斯基(Иван Геортиевич ПетровскийИ，1901-1973， 图6是1973年前苏联纪念彼得罗夫斯基逝世发行的邮票)在偏微分方程论，尤其在定性理论、方程分类等方面都有重要贡献。

图 3

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图 6

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