算术基本定理怎么证明（算术基本定理）

认识了自然数后，人们开始思考自然数中有共同性质的一类数 例如，，今天小编就来说说关于算术基本定理怎么证明?下面更多详细答案一起来看看吧!

算术基本定理怎么证明

认识了自然数后，人们开始思考自然数中有共同性质的一类数。 例如，

全体偶数的集合

2、4、6、8…

全体被3整除的整数集合

3、6、9、12…

所有平方数的集合

1、4、9、16…

数论中，最重要的一类数是素数（质数）。本期我们讨论素数。

素数

我们知道大多数整数能分解成较小因数的乘积。例如，

10=2·5

12=2·2·3

16=2·2·2·2

111=3·37

分解到一定程度后，人们都知道，不能继续分解的数就是素数。严格定义如下。

定义 设p是一个自然数，如果

（1）p>1；

（2）p除了1和p以外，再没有别的因数，那么p叫做质数或素数；

例如 2、3、5、7,等都是素数。

素数的重要性在于这一事实：每一个整数都能表示为素数的乘积。

如果一个数本身不是素数，那么可以不断地对它进行因子分解，直到所有因子都是素数为止。例如 330=3·110=3·2·55=3·2·5·11=2·3·5·11

一个整数（除了0和1）如果不是素数，就称为是合数。

命题 若a是任意整数，p是素数，则要么（p、a）=1，要么p|a.

算术基本定理

定理 设n是一个正整数，那么它一定可以写成一些素数的乘积形式，即

n=p1p2p3……ps ①

其中p1、p2、p3、……、ps都是素数，若p1≤p2≤p3≤…≤ps，则表示是唯一的。

证明

存在性

对n用数学归纳法。若n=2，则2=2。①显然成立，假定对于小于n的正整数①成立，此时若n是素数，则①成立；若n是合数，则有两个整数b、c使得

n=bc 1<b<a, 1<c<a

由假设，

b= p1p2p3…pr

c= pr 1pr 2pr 3…pr t ，

故而

n= p1p2p3…prpr 1pr 2pr 3…pr t

因此①成立。

唯一性

假设

n=p1p2p3……ps

其中p1≤p2≤p3≤…≤ps，

n=q1q2q3……qm

其中q1≤q2≤q3≤…≤qm

则有

p1p2p3…ps=q1q2q3…qm

由此可知

q1| p1p2p3……ps，

p1| q1q2q3……qm.

因此 存在k、j 使得

q1| pj , p1| qk.

故而

q1= pj , p1=qk， qk=p1≤pj=q1.

又因为

q1≤qk.

从而

p1=qk=q1 ,

p2p3……ps= q2q3……qm .

同理可证p2=q2，以此类推，即得定理.□

注：定理中的p1、p2、p3、……、ps可以有重复的。

关于素数最初产生的问题是：素有是有限个？还是无限个？回答是：素数有无穷多个。下期我们给出证明。

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