根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)

南宋数学家秦九韶(约1202~1261)的著作《数书九章》第三章田域类有一道题目(沙田求积):

问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知为田几何?

秦九韶独创三斜求积术,解决了这类已知不等边三角形的三边边长,求面积的问题。

解决此类问题,西方数学家常用海伦(约公元50年)公式,中国独创秦九韶公式。这两种公式是等价的。

解这个题目还有一种方法,即求高法。

三斜求积术

用公式法可以直接把数据代入公式,计算出三角形的面积。用求高法是以一条边为底边,从对角顶点向底边作垂线,把任意三角形划分为两个直角三角形,再求高即得三角形的面积。

先讨论用三斜求积术如何解决问题。

已知任意三角形的三边边长,把数据代入公式,就求出面积。这就是南宋数学家秦九韶创造的三斜求积术。

《数书九章》给出的答案和解法如下:

答曰:田积三百一十五顷。

术曰:以少广求之。以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上。以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实。一为从隅,开平方,得积。

看不懂术文?那就请看用现代数学符号改写成的秦九韶公式,如下图所示:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(1)

秦九韶的三斜求积术给出了一般的计算公式,是对几何学的一大贡献。但由于诸多原因,秦九韶的原始证明已经失传。如何根据中国几何的特色补出秦九韶公式的证明,是众多学者研究探讨的热点。

著名数学家吴文俊(1919~2017)在《出入相补原理》一文中,给出了一个漂亮的补证。在欣赏吴文俊的证明之前先介绍《九章算术》中研究直角三角形的一个成果。吴文俊先生以古人的研究成果为引理,巧妙地推导出秦九韶公式,古韵古风,简朴自然。

《九章算术》有这样一道勾股定理的简单应用题:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(2)

折竹求高

今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。问折者高几何?

答曰:四尺二十分尺之十一。

答案是怎样计算出来的呢?请看下图:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(3)

为了解决上面提出的折竹求高的问题,古人推导出一个常用的公式,推导过程请看下图,结论就是公式(4)。

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(4)

刘徽根据出入相补原理用几何方法推导出公式(4)

把题目数据代入公式(4)计算,就得到答案4又20分之11(单位:尺)。

吴文俊先生作出的补证抄录如下:

沙田求积:已知三边求面积。

现成的解题工具盘点:(1)三角形面积公式:S=½ahₐ;(《九章算术》有此公式)

(2)勾股定理:a² b²=c²;(赵爽和刘徽已证明)(3)勾股公式:已知勾,已知股弦和,可求股。(刘徽注解《九章算术》推导出此公式)

解题计划:

(1)以大斜为底边作图并标注斜三角形;

(2)作高构造勾股形并标注;

(3)以大斜的两段构造辅助元素勾股形并标注;

(4)用勾股定理求勾;

(5)用勾股公式求股;

(6)已知股和小斜,可用勾股定理求高;

(7)已知高和大斜,可用三角形面积公式求面积;

(8)提炼出秦九韶公式,所有辅助元素可以在过程中出现,不允许在结论中出现。公式中只能有三斜和常数。

解题过程:

勾方=(中²-高²)-(小²-高²)

=中²-小²=14²-13²=196-169=27

股=(股弦和方-勾方)÷2倍股弦和=(15²-27)÷(2×15) (折竹求高的公式4)

=(225-27)÷30=198÷30=6.6

高方=小方-股方=13²-6.6²

=169-43.56=125.44

高=11.2

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(5)

笔算开平方图一

面积=½大斜×高=15×11.2÷2=84

提炼公式

公式验证:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(6)

秦九韶公式

把a=13,b=14,c=15代入公式

a²c²=169×225=38025

a² c²-b²=169 225-196=198

½(a² c²-b²)=99

½²(a² c²-b²)²=99²=9801

a²c²-½²(a² c²-b²)²=38025-9801=28224

28224开平方=168

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(7)

笔算开平方图二

面积=168÷2=84

怎样从以上解法概括出具有一般化和普遍性的秦九韶公式?

请看下图:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(8)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(9)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(10)

怎样求高?

用海伦公式求高非常方便。海伦公式如下图所示:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(11)

海伦公式

海伦公式还有一个变式:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(12)

用海伦公式求高有如下图所示的整齐美观易记忆的公式:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(13)

求高公式

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(14)

许莼舫先生的《几何计算》截图1

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(15)

许莼舫先生的《几何计算》截图2

不用公式怎样求已知三边边长的三角形的高?先作辅助线,请看下图:

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(16)

沙田求积

由勾股定理可得:

AD²=AB²-x²=13²-x²

AD²=AC²-(15-x)²=14²-(15²-30x x²)

由以上两式可得

13²-x²=14²-(15²-30x x²)

去括号

13²-x²=14²-15² 30x-x²

整理化简

30x=225 169-196

解之得

x=6.6

由勾股定理可得

高²=AD²=13²-6.6²

高=11.2

苏联科普作家别莱利曼的解法如下:

BD²=13²-AD² ,

BD²=14²-DC²,

从上列二式得:

13²- AD²=14²-DC²,

DC² - AD² =14²-13²=27。

但是

DC² - AD²=( DC AD )( DC - AD )

=15( DC - AD )。

因此

15( DC - AD )=27,

DC - AD =27÷15=1.8。

由 DC - AD =1.8,

DC AD =15,

得:2DC=16.8,

就是 DC=8.4。

现在就不难算出三角形的高来:

AD =√(14²-8.4²)=11.2

以上解法其实相当于解用勾股定理列出的二元二次方程组:(请看下图)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(17)

破解美国竞赛题

我们掌握了求高法,现在做两道习题来巩固一下。首先,我们来破解一道美国竞赛题,请看下图。

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(18)

容易想到从上底的两个端点向下底作垂线,把梯形分为两个直角三角形和一个矩形,分别计算面积再求和。

一眼看出两个直角三角形可以拼成三斜为8,10,12的不等边三角形,求出它的高,就可以用梯形面积公式计算得到问题的答案。

但是,很遗憾,(8,10,12)不是海伦数组,所以三角形以及梯形面积都是无理数。

什么是海伦数组?秦九韶的三角形三斜都是整数,面积也是整数,就称为海伦三角形。海伦三角形的三边边长就称为海伦数组,例如(13,14,15)。海伦数组包含毕达哥拉斯三元数组(勾股数组)。

我们来修改一下题目数据。怎么修改?就是构造一个海伦三角形。直角三角形的三边如果是勾股数组,那么就称为勾股形。我们可以用两个适当的勾股形来拼成一个海伦三角形。

举个例子,(6,8,10)和(8,15,17)都是勾股数组,而且有相等的直角边,所以可以拼成海伦三角形。

因为构造出的海伦数组是(10,17,21),所以把梯形的左腰数据改成17,右腰数据改成10,下底数据改成31。这样修改后,答案就是整数了。

辅助线的做法还可以过上底的左端点作右腰的平行线,或者是过上底的右端点作左腰的平行线。

这种作法就把梯形分为海伦三角形和平行四边形,求高后就得到梯形的面积。

现在问题转化为如何求海伦三角形(10,17,21)的高。

既然提到了转化,请允许我先讲个关于转化的笑话,如何再继续解题。

中场休息 脱口秀

噢,我倒了!

先说一个关于数学家的笑话。这个笑话不是我说的,但我也不知道是谁说的。准备,开始:

在一次心理学实验中,一位数学家被安排在一个房间里,房间里有水池、烧水壶和火炉。数学家被要求烧一壶水。他拿起空水壶,在水池里接满水,放到火炉上,把火打开。然后他进入另一个房间,房间里有水池、装满水的水壶和火炉。他再次被要求烧一壶水。他拿起水壶,将水倒进水池里,然后宣布:“我已经将这个问题转化为了之前已经解决的问题。”

虽然数学家的行为很蠢,这个笑话还是突出了一个重点。它告诉我们解决问题——不仅是数学问题,也包括我们想解决的任何问题——的方法有两种:

1.直接解决问题。

2.解决一小部分问题,然后发现余下的问题类似于某个答案已知的问题。然后照做。

换句话说,问题只有在我们不知道如何解决时才难。一旦我们知道如何做了,我们就可以开启自动驾驶模式,然后坐等问题解决。比如,假设我们在某个不熟悉的地方迷路了,想要回家。怎么才能回家呢?通常你不会突然被绊倒摔进你家后院,然后说:“噢,到家了。”也就是说,你无法一下解决迷路的问题。更有可能的是你遇到某个你熟悉的地方。你说:“噢!那是美沙酮门诊,窗户玻璃是彩色的!我知道从这里怎样去我奶奶家。”到达一个熟悉的地方后,你就能将问题转化为你以前解决过的问题,剩下的事情就简单了。数学就是这样!要深刻理解这一点,最好的方式之一就是发明微积分。现在我们就来尝试一下。

书名:烧掉数学书:重新发明数学

作者:(美)杰森·威尔克斯

译者:唐璐

出版社:湖南科学技术出版社

出版日期:2020-09-01

ISBN:9787571004071

继续解题

以大斜21为底边,作高线把大斜分为弦和股两段。容易理解,中斜17在大斜上的投影是弦,小斜10的投影是股。

勾方=中方-小方

=弦方-股方=17²-10²=189

由平方差公式可得

弦方-股方=(股弦和)(股弦差)

即:189=21×股弦差

股弦差=189÷21=9

由小学数学的和差问题公式可得:

弦=(股弦和 股弦差)÷2=30÷2=15

股=(股弦和-股弦差)÷2=12÷2=6,

现在可以用勾股定理求高了:

高²=小²-股²=10²-6²=64

所以,高=8

以下略。

《义务教育课程标准(2011年版)》中指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。转化思想是重要的数学思想,在解题中利用转化思想对解题有积极的作用.接下来就以具体问题让学生感受转化思想的魅力。

接下来我们看最后一道习题。

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(19)

平行四边形求高

在平行四边形ABCD中,底边AB=10.5,对角线AC=20,对角线BD=13,求平行四边形底边AB上的高DE。

只要我们把问题转化为熟悉的三斜求高,就万事大吉。

延长AB,过点C作对角线BD的平行线,交AB的延长线于点G,则CG=BD,BG=AB。

于是问题转化为求三角形ACG的高。三角形ACG的三边是(13,20,21),代入求高公式可得:

令a=13,b=20,c=21,可得

a b c=54, a b-c=12,b c-a=28,

c a-b=14

把以上数据代入求高公式可得,以大斜21为底边的高h=12

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(20)

而且平行四边形面积=三角形面积=21×12÷2=126

总结

秦九韶是怎么找到海伦数组(13,14,15)的呢?不知道,但是可以猜测一下:

若3m² 1=k² (m,n∈N),则有

(2k-1,2k,2k 1)是海伦数组。k=7时得到海伦数组(13,14,15)。

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(21)

等差海伦数组的公式

为什么痴迷于整数?

上帝创造了整数,其余的一切都是人的工作。

——克罗内克

通过对数学史的学习,我们知道了秦九韶公式的来龙去脉。

《九章算术》给出了三角形面积公式:

S=½ah (a=底,h=高)

还给出了折竹求高的勾股公式:

股弦差=勾²÷股弦和

弦=½(股弦和 股弦差)

股=½(股弦和-股弦差)

三国时期魏国数学家刘徽注解《九章算术》,又给出了另外一个公式:

股=(股弦和²-勾²)÷(2×股弦和)

刘徽和三国时期吴国数学家赵爽都证明了勾股定理。

站在前人的肩膀上,秦九韶独创三斜求积术。

吴文俊在《出入相补原理》一文中谈到了勾股定理和东西方数学,引用如下:

欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示,其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理,为此要作不少准备工作,因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理,而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国,勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用,成为两千来年数学发展的一个重要出发点,参阅以下各节和文末附表。

  

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(22)

  在东西方的古代几何体系中,勾股定理所占的地位是颇不相同的。

  勾、股、弦和它们的和差互求

  勾、股、弦和它们之间的和差共九个数,只须知道其中的二个就可以求得其他几个。

  除勾、股、弦互求就是开平方之外,《九章》勾股章中有不少这方面的问题:

  第一,知股弦差、勾,求股、弦(五题);

  第二,知勾股差、弦,求勾、股(一题);

  第三,知股弦差、勾弦差,求勾、股、弦(一题);

  第四,知股弦和、勾,求股、弦(一题)。

由此可见,数学发展可以大致分为三个阶段,古代数学→近代数学→现代数学。其中古代数学是常量数学,近代数学是变量数学。

在古代数学阶段,有两大数学思想主流,即西方数学的代表古希腊数学,是演绎倾向;东方数学的代表中国古代数学,是算法倾向。

可以毫不夸张的说,在明中叶之前,中国古代数学在许多数学分支领域,处于遥遥领先的地位。

但是,数学发展到近代数学阶段,中国落后了,欧洲崛起了。

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(23)

数学的发展与国家的繁荣昌盛息息相关。所以,中国的近代史让人感到屈辱、辛酸和悲怆。

最后,为大家送上秦道古先生的相关资料,请看最后一个单元,本文就结束了。

关于秦九韶

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(24)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(25)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(26)

根据两点距离公式求最值(从三斜求积术谈起)(27)

以上内容来自《数学辞海》第六卷。一言以蔽之,秦九韶是站在时代巅峰的伟大数学家。

秦九韶公式和海伦公式的相互推导需要较高的代数技巧,省略。

秦九韶-海伦公式与三角函数的关系密切,省略。

以上省略的内容以后考虑另外写专题文章,超出本文范围,增加读者负担,就忍痛割爱了。

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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