根据两点距离公式求最值（从三斜求积术谈起）

南宋数学家秦九韶(约1202～1261)的著作《数书九章》第三章田域类有一道题目(沙田求积):

问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

秦九韶独创三斜求积术，解决了这类已知不等边三角形的三边边长，求面积的问题。

解决此类问题，西方数学家常用海伦(约公元50年)公式，中国独创秦九韶公式。这两种公式是等价的。

解这个题目还有一种方法，即求高法。

三斜求积术

用公式法可以直接把数据代入公式，计算出三角形的面积。用求高法是以一条边为底边，从对角顶点向底边作垂线，把任意三角形划分为两个直角三角形，再求高即得三角形的面积。

先讨论用三斜求积术如何解决问题。

已知任意三角形的三边边长，把数据代入公式，就求出面积。这就是南宋数学家秦九韶创造的三斜求积术。

《数书九章》给出的答案和解法如下:

答曰:田积三百一十五顷。

术曰:以少广求之。以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方，得积。

看不懂术文？那就请看用现代数学符号改写成的秦九韶公式，如下图所示:

秦九韶的三斜求积术给出了一般的计算公式，是对几何学的一大贡献。但由于诸多原因，秦九韶的原始证明已经失传。如何根据中国几何的特色补出秦九韶公式的证明，是众多学者研究探讨的热点。

著名数学家吴文俊(1919～2017)在《出入相补原理》一文中，给出了一个漂亮的补证。在欣赏吴文俊的证明之前先介绍《九章算术》中研究直角三角形的一个成果。吴文俊先生以古人的研究成果为引理，巧妙地推导出秦九韶公式，古韵古风，简朴自然。

《九章算术》有这样一道勾股定理的简单应用题:

折竹求高

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？

答曰:四尺二十分尺之十一。

答案是怎样计算出来的呢？请看下图:

为了解决上面提出的折竹求高的问题，古人推导出一个常用的公式，推导过程请看下图，结论就是公式(4)。

刘徽根据出入相补原理用几何方法推导出公式(4)

把题目数据代入公式(4)计算，就得到答案4又20分之11(单位:尺)。

吴文俊先生作出的补证抄录如下:

沙田求积:已知三边求面积。

现成的解题工具盘点:（1）三角形面积公式:S=½ahₐ;(《九章算术》有此公式)

（2）勾股定理:a² b²=c²;(赵爽和刘徽已证明)（3）勾股公式:已知勾，已知股弦和，可求股。(刘徽注解《九章算术》推导出此公式)

解题计划:

(1)以大斜为底边作图并标注斜三角形;

(2)作高构造勾股形并标注;

(3)以大斜的两段构造辅助元素勾股形并标注;

(4)用勾股定理求勾;

(5)用勾股公式求股;

(6)已知股和小斜，可用勾股定理求高;

(7)已知高和大斜，可用三角形面积公式求面积;

(8)提炼出秦九韶公式，所有辅助元素可以在过程中出现，不允许在结论中出现。公式中只能有三斜和常数。

解题过程:

勾方=(中²-高²)-(小²-高²)

=中²-小²=14²-13²=196-169=27

股=(股弦和方-勾方)÷2倍股弦和=(15²-27)÷(2×15) (折竹求高的公式4)

=(225-27)÷30=198÷30=6.6

高方=小方-股方=13²-6.6²

=169-43.56=125.44

高=11.2

笔算开平方图一

面积=½大斜×高=15×11.2÷2=84

提炼公式

公式验证:

秦九韶公式

把a=13，b=14，c=15代入公式

a²c²=169×225=38025

a² c²-b²=169 225-196=198

½(a² c²-b²)=99

½²(a² c²-b²)²=99²=9801

a²c²-½²(a² c²-b²)²=38025-9801=28224

28224开平方=168

笔算开平方图二

面积=168÷2=84

怎样从以上解法概括出具有一般化和普遍性的秦九韶公式？

请看下图:

怎样求高？

用海伦公式求高非常方便。海伦公式如下图所示:

海伦公式

海伦公式还有一个变式:

用海伦公式求高有如下图所示的整齐美观易记忆的公式:

求高公式

许莼舫先生的《几何计算》截图1

许莼舫先生的《几何计算》截图2

不用公式怎样求已知三边边长的三角形的高？先作辅助线，请看下图:

沙田求积

由勾股定理可得:

AD²=AB²-x²=13²-x²

AD²=AC²-(15-x)²=14²-(15²-30x x²)

由以上两式可得

13²-x²=14²-(15²-30x x²)

去括号

13²-x²=14²-15² 30x-x²

整理化简

30x=225 169-196

解之得

x=6.6

由勾股定理可得

高²=AD²=13²-6.6²

高=11.2

苏联科普作家别莱利曼的解法如下:

BD²=13²-AD² ,

BD²=14²-DC²,

从上列二式得：

13²- AD²=14²-DC²,

DC² - AD² =14²-13²=27。

但是

DC² - AD²=( DC AD )( DC - AD )

=15( DC - AD )。

因此

15( DC - AD )=27,

DC - AD =27÷15=1.8。

由 DC - AD =1.8,

DC AD =15,

得：2DC=16.8,

就是 DC=8.4。

现在就不难算出三角形的高来：

AD =√(14²-8.4²)=11.2

以上解法其实相当于解用勾股定理列出的二元二次方程组:(请看下图)

破解美国竞赛题

我们掌握了求高法，现在做两道习题来巩固一下。首先，我们来破解一道美国竞赛题，请看下图。

容易想到从上底的两个端点向下底作垂线，把梯形分为两个直角三角形和一个矩形，分别计算面积再求和。

一眼看出两个直角三角形可以拼成三斜为8，10，12的不等边三角形，求出它的高，就可以用梯形面积公式计算得到问题的答案。

但是，很遗憾，(8，10，12)不是海伦数组，所以三角形以及梯形面积都是无理数。

什么是海伦数组？秦九韶的三角形三斜都是整数，面积也是整数，就称为海伦三角形。海伦三角形的三边边长就称为海伦数组，例如(13，14，15)。海伦数组包含毕达哥拉斯三元数组(勾股数组)。

我们来修改一下题目数据。怎么修改？就是构造一个海伦三角形。直角三角形的三边如果是勾股数组，那么就称为勾股形。我们可以用两个适当的勾股形来拼成一个海伦三角形。

举个例子，(6，8，10)和(8，15，17)都是勾股数组，而且有相等的直角边，所以可以拼成海伦三角形。

因为构造出的海伦数组是(10，17，21)，所以把梯形的左腰数据改成17，右腰数据改成10，下底数据改成31。这样修改后，答案就是整数了。

辅助线的做法还可以过上底的左端点作右腰的平行线，或者是过上底的右端点作左腰的平行线。

这种作法就把梯形分为海伦三角形和平行四边形，求高后就得到梯形的面积。

现在问题转化为如何求海伦三角形(10，17，21)的高。

既然提到了转化，请允许我先讲个关于转化的笑话，如何再继续解题。

中场休息 脱口秀

噢，我倒了！

先说一个关于数学家的笑话。这个笑话不是我说的，但我也不知道是谁说的。准备，开始：

在一次心理学实验中，一位数学家被安排在一个房间里，房间里有水池、烧水壶和火炉。数学家被要求烧一壶水。他拿起空水壶，在水池里接满水，放到火炉上，把火打开。然后他进入另一个房间，房间里有水池、装满水的水壶和火炉。他再次被要求烧一壶水。他拿起水壶，将水倒进水池里，然后宣布：“我已经将这个问题转化为了之前已经解决的问题。”

虽然数学家的行为很蠢，这个笑话还是突出了一个重点。它告诉我们解决问题——不仅是数学问题，也包括我们想解决的任何问题——的方法有两种：

1.直接解决问题。

2.解决一小部分问题，然后发现余下的问题类似于某个答案已知的问题。然后照做。

换句话说，问题只有在我们不知道如何解决时才难。一旦我们知道如何做了，我们就可以开启自动驾驶模式，然后坐等问题解决。比如，假设我们在某个不熟悉的地方迷路了，想要回家。怎么才能回家呢？通常你不会突然被绊倒摔进你家后院，然后说：“噢，到家了。”也就是说，你无法一下解决迷路的问题。更有可能的是你遇到某个你熟悉的地方。你说：“噢！那是美沙酮门诊，窗户玻璃是彩色的！我知道从这里怎样去我奶奶家。”到达一个熟悉的地方后，你就能将问题转化为你以前解决过的问题，剩下的事情就简单了。数学就是这样！要深刻理解这一点，最好的方式之一就是发明微积分。现在我们就来尝试一下。

书名：烧掉数学书：重新发明数学

作者：（美）杰森·威尔克斯

译者：唐璐

出版社：湖南科学技术出版社

出版日期：2020-09-01

ISBN：9787571004071

继续解题

以大斜21为底边，作高线把大斜分为弦和股两段。容易理解，中斜17在大斜上的投影是弦，小斜10的投影是股。

勾方=中方-小方

=弦方-股方=17²-10²=189

由平方差公式可得

弦方-股方=(股弦和)(股弦差)

即:189=21×股弦差

股弦差=189÷21=9

由小学数学的和差问题公式可得:

弦=(股弦和 股弦差)÷2=30÷2=15

股=(股弦和-股弦差)÷2=12÷2=6，

现在可以用勾股定理求高了:

高²=小²-股²=10²-6²=64

所以，高=8

以下略。

《义务教育课程标准(2011年版)》中指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。转化思想是重要的数学思想,在解题中利用转化思想对解题有积极的作用.接下来就以具体问题让学生感受转化思想的魅力。

接下来我们看最后一道习题。

平行四边形求高

在平行四边形ABCD中，底边AB=10.5，对角线AC=20，对角线BD=13，求平行四边形底边AB上的高DE。

只要我们把问题转化为熟悉的三斜求高，就万事大吉。

延长AB，过点C作对角线BD的平行线，交AB的延长线于点G，则CG=BD，BG=AB。

于是问题转化为求三角形ACG的高。三角形ACG的三边是(13，20，21)，代入求高公式可得:

令a=13，b=20，c=21，可得

a b c=54， a b-c=12，b c-a=28，

c a-b=14

把以上数据代入求高公式可得，以大斜21为底边的高h=12

而且平行四边形面积=三角形面积=21×12÷2=126

总结

秦九韶是怎么找到海伦数组(13，14，15)的呢？不知道，但是可以猜测一下:

若3m² 1=k² (m，n∈N)，则有

(2k-1，2k，2k 1)是海伦数组。k=7时得到海伦数组(13，14，15)。

等差海伦数组的公式

为什么痴迷于整数？

上帝创造了整数，其余的一切都是人的工作。

——克罗内克

通过对数学史的学习，我们知道了秦九韶公式的来龙去脉。

《九章算术》给出了三角形面积公式:

S=½ah (a=底，h=高)

还给出了折竹求高的勾股公式:

股弦差=勾²÷股弦和

弦=½(股弦和 股弦差)

股=½(股弦和-股弦差)

三国时期魏国数学家刘徽注解《九章算术》，又给出了另外一个公式:

股=(股弦和²-勾²)÷(2×股弦和)

刘徽和三国时期吴国数学家赵爽都证明了勾股定理。

站在前人的肩膀上，秦九韶独创三斜求积术。

吴文俊在《出入相补原理》一文中谈到了勾股定理和东西方数学，引用如下:

欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为两千来年数学发展的一个重要出发点，参阅以下各节和文末附表。

　　

　　在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。

　　勾、股、弦和它们的和差互求

　　勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。

　　除勾、股、弦互求就是开平方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：

　　第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；

　　第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；

　　第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；

　　第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。

由此可见，数学发展可以大致分为三个阶段，古代数学→近代数学→现代数学。其中古代数学是常量数学，近代数学是变量数学。

在古代数学阶段，有两大数学思想主流，即西方数学的代表古希腊数学，是演绎倾向;东方数学的代表中国古代数学，是算法倾向。

可以毫不夸张的说，在明中叶之前，中国古代数学在许多数学分支领域，处于遥遥领先的地位。

但是，数学发展到近代数学阶段，中国落后了，欧洲崛起了。

数学的发展与国家的繁荣昌盛息息相关。所以，中国的近代史让人感到屈辱、辛酸和悲怆。

最后，为大家送上秦道古先生的相关资料，请看最后一个单元，本文就结束了。

关于秦九韶

以上内容来自《数学辞海》第六卷。一言以蔽之，秦九韶是站在时代巅峰的伟大数学家。

秦九韶公式和海伦公式的相互推导需要较高的代数技巧，省略。

秦九韶-海伦公式与三角函数的关系密切，省略。

以上省略的内容以后考虑另外写专题文章，超出本文范围，增加读者负担，就忍痛割爱了。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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