三角函数解直角三角形的应用（初三数学三角函数）

上一节课，我们学习了锐角三角函数的定义，那么这节课我们讲的内容是：解直角三角形及实际应用问题。而不管是解直角三角形，还是实际应用问题，都是中考的一个重要考点，并且衔接高中部分知识，所以学好它很重要，同学们一定要认真学习哦。相信在付老师的带领下，你一定能学的很好，加油努力！

锐角三角函数

三角函数与之前学过的一次函数、二次函数、反比例函数一样，都属于函数范畴，所以此时就要研究函数的自变量x、函数值y以及函数的增减性。初中阶段简单作为了解内容，所以不会细讲。

我们只研究0°~90°之间函数的增减性及变化趋势：

1、对于正弦sin、正切tan来讲，它在0°~90之间，函数值y随自变量x的增大而增大，属于增函数（自变量正弦函数x可以取0°和90°，sin0°=0，sin90°=1，正切只能取0°，tan0°=0，不能取90°，无意义），所以根据这一点就能判断函数值的大小。例如：sin12°＜sin22°，tan25°＞tan11°。

2、对于余弦cos、余切cot来讲，它在0°~90之间，函数值y随自变量x的增大而减小，属于减函数（自变量余弦函数x可以取0°和90°，cos0°=1，cos90°=0，余切只能取90°，cot90°=0，不能取0°，无意义），所以根据这一点就能判断函数值的大小。例如：cos32°＜cos22°，cot25°＞cot31°。

三角函数的增减性

1、平方关系：sinα² cosα²=1（根据三角函数定义及勾股定理即可证明此结论）；

2、倒数关系：tanα×cotα=1（根据三角函数定义即可证明此结论）；

3、商的关系：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα（根据三角函数定义即可证明此结论）。

这三个关系，在解决有些计算题的时候非常实用。

三角函数平方关系

如果∠A ∠B=90°，则可以得到sinA=cos（90°－A）=cosB，cosA=sin（90°－A）=sinB，tanA=cot（90°－A）=cotB，cotA=tan（90°－A）=tanB。

即：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意锐角的正切值等于它余角的余切值；任意锐角的余切值等于它余角的正切值。

解直角三角形是指：利用三角形角之间的关系（内角和180°），边之间的关系（勾股定理），边与角之间的关系（锐角三角函数）进行求解三角形的未知元素（边的长度、角的大小）的过程。

解直角三角形的两个基本类型：（1）已知两边，求其他要素；（2）已知一锐角和一边，求其他要素。

如果遇到非直角三角形，一定要记得先做辅助线，转化为直角三角形，再在直角三角形中求解。

解直角三角形

1、仰角和俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角。

2、坡度和坡角：坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫做坡度，用i来表示，i=tanα=h/l；坡面与水平面的夹角α叫做坡角，实际上坡度就是坡角α的正切值。

3、方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。

解直角三角形

1、对于没有图形的题目，自己必须根据题目条件描述，自己画出准确的图形，然后求解。

2、特别注意构造直角三角形，然后找到边与角的关系求解。

3、对于较难的应用问题，可能需要在两个不同的直角三角形中分别去利用公共边表示，然后利用三角函数列方程求解。

4、最后就是计算问题，看清题目有没有要求保留几位小数，如果除不尽，一般保留两位小数。

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