三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)

上一节课,我们学习了锐角三角函数的定义,那么这节课我们讲的内容是:解直角三角形及实际应用问题。而不管是解直角三角形,还是实际应用问题,都是中考的一个重要考点,并且衔接高中部分知识,所以学好它很重要,同学们一定要认真学习哦。相信在付老师的带领下,你一定能学的很好,加油努力!

三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)(1)

锐角三角函数

锐角三角函数值的变化情况(函数的增减性)

三角函数与之前学过的一次函数、二次函数、反比例函数一样,都属于函数范畴,所以此时就要研究函数的自变量x、函数值y以及函数的增减性。初中阶段简单作为了解内容,所以不会细讲。

我们只研究0°~90°之间函数的增减性及变化趋势:

1、对于正弦sin、正切tan来讲,它在0°~90之间,函数值y随自变量x的增大而增大,属于增函数(自变量正弦函数x可以取0°和90°,sin0°=0,sin90°=1,正切只能取0°,tan0°=0,不能取90°,无意义),所以根据这一点就能判断函数值的大小。例如:sin12°<sin22°,tan25°>tan11°。

2、对于余弦cos、余切cot来讲,它在0°~90之间,函数值y随自变量x的增大而减小,属于减函数(自变量余弦函数x可以取0°和90°,cos0°=1,cos90°=0,余切只能取90°,cot90°=0,不能取0°,无意义),所以根据这一点就能判断函数值的大小。例如:cos32°<cos22°,cot25°>cot31°。

三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)(2)

三角函数的增减性

同角的三角函数之间的关系

1、平方关系:sinα² cosα²=1(根据三角函数定义及勾股定理即可证明此结论);

2、倒数关系:tanα×cotα=1(根据三角函数定义即可证明此结论);

3、商的关系:tanα=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα(根据三角函数定义即可证明此结论)。

这三个关系,在解决有些计算题的时候非常实用。

三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)(3)

三角函数平方关系

互为余角的三角函数之间的关系

如果∠A ∠B=90°,则可以得到sinA=cos(90°-A)=cosB,cosA=sin(90°-A)=sinB,tanA=cot(90°-A)=cotB,cotA=tan(90°-A)=tanB。

即:任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;任意锐角的正切值等于它余角的余切值;任意锐角的余切值等于它余角的正切值。

解直角三角形

解直角三角形是指:利用三角形角之间的关系(内角和180°),边之间的关系(勾股定理),边与角之间的关系(锐角三角函数)进行求解三角形的未知元素(边的长度、角的大小)的过程。

解直角三角形的两个基本类型:(1)已知两边,求其他要素;(2)已知一锐角和一边,求其他要素。

如果遇到非直角三角形,一定要记得先做辅助线,转化为直角三角形,再在直角三角形中求解。

三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)(4)

解直角三角形

三角函数实际应用问题

1、仰角和俯角:在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角。

2、坡度和坡角:坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫做坡度,用i来表示,i=tanα=h/l;坡面与水平面的夹角α叫做坡角,实际上坡度就是坡角α的正切值。

3、方向角:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。

三角函数解直角三角形的应用(初三数学三角函数)(5)

解直角三角形

解决实际问题应注意的几个方面:

1、对于没有图形的题目,自己必须根据题目条件描述,自己画出准确的图形,然后求解。

2、特别注意构造直角三角形,然后找到边与角的关系求解。

3、对于较难的应用问题,可能需要在两个不同的直角三角形中分别去利用公共边表示,然后利用三角函数列方程求解。

4、最后就是计算问题,看清题目有没有要求保留几位小数,如果除不尽,一般保留两位小数。


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