无穷级数的基本知识（趣谈无穷级数的终结者）

我们学习泰勒级数目的，就是为了在某个点附近用多项式近似其他函数，这样逼近函数的多项式要比函数本身更加有意义，既可以积分 又可以求导，还可以观察它的的特性。

我们以cosx为例，用三项式来逼近它

首先很容易得到：x=0时，C0=1

多项式曲线在x=0处，还是可以来回摇摆，所以继续定义在x=0处的斜率得到C1=0

虽然定义了x=0处的斜率，但是多项式曲线还可以上来活动，所以继续定义x=0处的二阶导数：

这样在二阶导数斜率为负，曲线开口朝下，这样曲线在x=0点和cosx更加吻合

最终得到仅有三项的逼近COSx的多项式

我们可以用x=0附件的数值 例如0.1,0.2来验证，与实际的COSX非常接近，所以是成功的

c0负责多项式在x=0时与cos0的值一致。

c1负责多项式x=0时与cos0处的导数一致（不可左右摇摆）（斜率一致）

c2负责多项式x=0时与cos0处的二阶导数一致（不可上下摇摆）

这样使得曲线在cosx附近变化时，尽可能的逼近cosx。

为了使得曲线在x更远的地方也能逼近cosx,需要不断增加项数，这样就要不断的对cosx求导。

你会发现，随着项数的增加，增加的高次项并不会影响低次项。这点很重要，这是因为在求高次项系数的时候，前面的x都等于0

多项式任意阶导数在x=0的值，都是唯一的一个系数来控制。这样我们就得到了cosx函数的泰勒多项式。

同理最终得到任意函数在x=0时的泰勒多项式。

我们来分析他们的几何意义：

首先假设多项式f（x）代表面积

f（x）的在a处一阶导数就是曲线上在a点的纵坐标，f（x）的在a处二阶导数就是曲线在a点的斜率，所以得到图中的等式。这就是他的几何意义

注意：

泰勒级数不是对所有的函数都能很好的逼近，如下Inx函数的泰勒级数，在x取值超出一定范围后就上下乱跳，所以x的取值不能延伸更广的范围，必须定义它的收敛半径。

但对e^x的泰勒级数就不存在这个问题，能很好的和e^x吻合。