数学中的数论是什么(有温度的数学)

数论最早大约从公元前500年开始出现,数论的先驱是毕达哥拉斯(毕达哥拉斯生于公元前500年、卒于公元前490年,古希腊数学家、哲学家。他认为,无论是解说外在物质世界,还是描写内在精神世界,都不能没有数学!他也是最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的)。毕达哥拉斯认为世界构成于数量关系,数是整个自然的本原。毕达哥拉斯学派将数的抽象概念提到突出地位,认为世间万物都可以用整数或整数的比表示。

现在学习数论时,教材明确数论在自然数范围内研究,而且不包括0。这是什么原因呢?我们先来了解一下有关数学史:

“0”在公元500年才被印度人创造出来,比数论的出现晚了1000年。

小数最早出现在公元250年(刘徽)。

分数出现于公元260年(《九章算术》第三章“衰分”)。

由此可以看出,研究数论时并没有0、小数、分数,更没有负数。毕达哥拉斯时代的数就是非0自然数(后期出现无理数)。但现在研究数论时,0还是时有时无,0不是谁的因数,但0又是非0自然数的倍数,0不是质数或合数,但0又是偶数。之所以造成这样的混乱,与数论中一些概念的现实解读有关系。我们先来看看《几何原本》中对数论概念的阐述:

整除:一个较大数能被一个较小数测尽,就说较大数能被较小数整除,或较小数能整除较大数。

倍数、因数:若一个较大数能被一个较小数测尽(整除),那么较大数是较小数的倍数,较小数是较大数的因数。

偶数:能分成相等两部分的数是偶数。

奇数:不能分成相等两部分的数是奇数。

质数:只能为一个单位量测尽的数是质数。

合数:能被某数测尽的数是合数。

……

现在关于数论的一些概念都做了修改,其中变化最大的是“偶数”概念。现在的偶数概念是“能被2整除的数是偶数”,认为0也能被2整除, 0是2的倍数,这样0就是偶数。但从偶数的最原始概念看,偶数是能分成相等两部分的数,0能分成相等两部分吗?很显然不能。如果从原始概念考察,0也不是谁的倍数。0表示一个数量单位也没有,它是最小自然数,只能用它本身来测量,0里面有0个0,即0÷0=0,这是不成立的等式,所以关于0是什么数的倍数也是不成立的。至于根据0×5=0,推理0÷5=0,这不是关于数论的概念,而是乘除法互逆关系的表示。

数论产生的时候,所指的数都表示“可度量”,所以,在论述一些概念时,用“测”的方式阐述。我们现在一般认为“测”是指长度、面积、体积等几何方面的量。但这是连续量,数论中的数表示的是离散量。要测量就要有单位,自然数的单位是“1”,即1个单位数量,所有自然数都能被1测尽,所以1是所有自然数的因数。5是15的因数,因为5能测尽15,需要测3次,用除法表示这个测量过程:15÷5=3。

数学中的数论是什么(有温度的数学)(1)

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