证明四点共圆的判定定理有哪些(关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用)

关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用,今天小编就来说说关于证明四点共圆的判定定理有哪些?下面更多详细答案一起来看看吧!

证明四点共圆的判定定理有哪些(关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用)

证明四点共圆的判定定理有哪些

关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用

命题1

如图1,O为△ABC内一点,若OAOBOC,则∠BOC=2∠BAD

这是一个真命题,

我们可以延长AO,利用三角形外角的性质以及“等边对等角”给出证明.

其实,只要点OABC的同侧,都可以证明∠BOC=2∠BAD.解题思路我们并不陌生,与证明圆周角定理完全一样.

命题2

如图2,O为△ABC内一点,如果OBOC,且∠BOC=2∠BAC,那么OAOB

这个命题可以看作是命题1的逆命题,它也是真命题.

用反证法证明如下:

如答图1, 延长AO

则∠1=∠2 ∠3,

假设OAOB

则∠3<∠2.

∴∠2 ∠3<2∠2.

∴∠1<2∠2.

同理,∠4<2∠5.

∴∠1 ∠4<2(∠2 ∠5).

即∠BOC<2∠BAC

这个结论与已知条件矛盾,

∴原假设不成立.

同样的道理,如果假设OAOB,也可以证明这个假设不成立.

OA=OB

拓展

与命题1类似,只要点OABC的同侧,结论都成立.

思考

如果不用反证法,可以证明吗?

答案是肯定的,但是比较繁,详见附录1.

命题3

如图3,点ADBC的同侧,若∠BAC=∠BDC,则ADBC四点共圆.

与命题2一样,我们照样用反证法证明这个命题是真命题.

如答图2,过ABC三点作⊙O.假设点D在圆外,CD与⊙O交于点E,连接BE

依据圆周角定理的推论“同弧所对的圆周角相等”,得∠BEC=∠A

依据三角形外角的性质,得∠BDC<∠BEC

所以∠BDC<∠BAC

这与已知条件矛盾,假设不成立.

同样的道理,点D也不能在⊙O内.

所以点D在⊙O上,即ADBC四点共圆.

拓展

能够不用反证法吗?

答案也是肯定的,证法详见附录2.

附录1

不用反证法,证明命题2

如图4,O为△ABC内一点,若OBOC,且∠BOC=2∠BAC,求证OAOB

证明

过程有点繁,下面我们把它分为六大步.

第一步,先证∠BAC=∠ABO+∠ACO

如答图3,延长AO

由三角形外角的性质,得

BOC=∠BAC+∠ABO+∠ACO

∵∠BOC=2∠BAC

∴∠BAC=∠ABO+∠ACO

第二步,如答图4,分别作点O关于ABAC的对称点MN,然后证明∠OBM+∠OCN=∠BOC

由轴对称性,得∠OBM+∠OCN

=2(∠OBA+∠OCA)

=2∠BAC=∠BOC

第三步,进一步证MBNC

如答图5,在平行线一章,这是一道很经典的题目,故省略具体步骤.

第四步,如答图6,在答图4的基础上,连接MN,可以证明MN=BC

MBOBOCNC

MBNC(已证),

∴四边形MBCN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).

MNBC

第五步,如答图6,可以证明△AMN≌△OBC

由轴对称,得AMAO=AN,且∠MAN=2∠BAC=∠BOC

依“等边对等角”以及三角形的内角和定理,得

AMN=∠ANM=∠OBC=OCB

∴△AMN≌△OBC

第六步,最后证明OBOA

∵△AMN≌△OBC

AMOB

AMAO

OAOB

评析

据说,这个命题有很多种证法,但都比较繁,还是用反证法好.

亲爱的朋友,你有好的证法吗?

附录二

不用反证法证明命题3

如图5,点ADBC的同侧,若∠BAC=∠BDC,求证ADBC四点共圆.

证明

如答图7,设△ABC的外心为点O(外心即外接圆的圆心,是三条边垂直平分线的交点),连接OAOBOC

OA=OB=OC

依命题1,还可以得到

BOC=2∠BAC

∵∠BDC=∠BAC

∴∠BOC=2∠BDC

最后连接OD,

根据命题2,得

OD=OB

OA=OB=OC=OD

ADBC四点共圆.

评析

因为把命题1和命题2当作定理使用,所以证题显得比较简单.

温馨提示

四点共圆在新课标中不作要求.

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