最值得看微积分通俗讲解（五分钟MIT公开课-多元微积分）

概述

这一节会讲分析多元方程的方法之一链式法则。这一章将链式法则讲解的非常清晰。有了偏微分的基础后，会发现链式法则就是微积分分析中的万金油，微分的乘除法换元法都可以用链式法则代替。当然，这个故事还需要从头讲起。

通常所说的函数指的是显函数，表达式为y=f(x)。很多时候，并不能直接通过x去表示y，而是F(x,y)=0的形式，这就是隐函数。

在求隐函数的微分的时候，有些小窍门是可以使用的：

对于多元或者复杂的函数，有一套标准的方法可以进行分析。

首先说下单变量下的链式法则，对于一个函数链z=f(g(x))。

通过这个公式原来需要计算的复杂函数导数就会转化成两个已知简单函数的导数。看一个例子来直观的理解：sin(3x)。内函数是y=3x，外函数是z=sin(y)。

根据链式法则，得到：

函数z的频率是正弦函数频率的三倍，所以变化的幅度更大，在原点处，斜率也是3倍，这和导数图像的结果完全一样。这就是链式法则的直观的表示。

Total Differentials and the Chain Rule 全微分和链式法则

全微分（Total Differentials）先来给个结果，对于f(x,y,z)，全微分：

d 就是微分符号，如何去考虑微分符号? 首先看看不能怎么去考虑：

前者表示的是微分符号，而后者表示非常小数量，注意这两者千万不要混用，即使在很多教科书上，这两者都被混用了。微分符号可以这样认为：

• 反映了变量变化时对函数的影响。

• 是一个微小变化的占位符。

• 同时除以 dt 可以得到t趋近于0变化率。

这个就是 链式法则（chain rule）。如果函数依赖于某些变量，变量又依赖于其他变量，链式法则可以寻找出函数在新变量下的变化率以及各变量之间的依赖关系。

有一个曾经我们使用过比较熟悉的公式可以和微分方程做个对比，注意这里是约等号而不是等号：

先来一个不太严谨的证明：

如果x,y,z分别是t的函数，则有

带入后：

等式两边同时除以 dt 就是链式法则。

更好点的证明：

当分母和分子的微小变量非常小的时候，就出现了0/0这种情况，这就是微积分要处理的。微积分保留了这个值，在极限条件下这个值就是导数。变化率趋近的值就是微分,约等号也就变成等号了。这就是链式法则最核心的原理。

来看个例子：

也可以直接将各部分值带入，可以得到同样的结果。这里链式法则本质上是将多变量转化为单变量。如果x,y,z不能写成t的显性函数，则只能使用链式法则。

链式法则和微分的关系

一个很有意思的地方，很多人知道导数的乘法法则，确实乘法法则是链式法则的一个应用，反过来乘法法则也可以通过链式法则来证明。

再来看看除法法则：

多变量的链式法则

到现在为止，感觉一切都没有问题，都是那么完美。突然有声音在问，之前的链式法则，都是认为所有变量都是关于共同变量t的，都依赖于同一个t，这本质上就是单变量的求导，如果每个变量依赖多个不同的变量，比如说一个极坐标下的方程，链式法则怎么用，函数w关于u,v的偏导数到底是什么？

可以把x和y的公式带入，w就变成了u和v的方程。但是求这个函数的偏导数绝对会让人抓狂的。或者，将链式法则进行到底：

如果改变u的话，w如何改变？x，y如何改变，这些是微分关系给我们的。

整理下这个式子，看括号内的部分：

理解这个式子也不难，我们想知道，u如何影响f，f是关于x和y的函数，x和y又依赖于u，这就是链式法则的精华了。

有人发现分子分母上都有同样的偏微分符号，是不是可以再词约分化解，答案是不行。

偏微分不能约分，偏微分不能约分，偏微分不能约分。

但是上下同时有微分符号，是可以约分的，这就是微分和偏微分的不同。

极坐标例子

平面直角坐标系和极坐标系转换的公式是：

如果已知函数f(x,y)，想知道直角坐标系下 f 关于极坐标下 r 或者 角度 的变化，可以用链式法则尝试下了，是不是简单很多。

下期讲解偏微分的另一个工具，梯度和方向导数。

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