高考函数求单调性例题（高考函数单调性类问题）

从近几年高考数学试卷来看，导数及导数的应用成为高考的热点，尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点利用这一性质可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值，今天小编就来说说关于高考函数求单调性例题?下面更多详细答案一起来看看吧!

高考函数求单调性例题

从近几年高考数学试卷来看，导数及导数的应用成为高考的热点，尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点。利用这一性质可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。

用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容，这就要求学生既要对导数知识极其熟悉，还需要有丰富的应试技巧，从而获得高分。

我们在解决导数求函数的单调性有关的试题时候，常常需要对参数进行讨论，而如何讨论？讨论的依据是什么？这个问题是困扰考生的一大难题，也是大家需要解释清楚的问题。

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程，这些都是近年高考数学的热点问题。若利用单调性定义求解，一般较为复杂，做此类题目时学生往往半途而废，失分率较高，但利用导数解决这类问题就变得比较简单，学生也易于接受。

导数极大地方便了对函数单调性的研究和相关问题的解决，主要是基于这样几个性质：

求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

1、确定函数f(x)的定义域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

导数求函数的单调性有关的高考试题分析，讲解1：

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，

∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－√2＜x＜√2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(－√2，√2)．

(2)若函数f(x)在R上单调递减，

则f′(x)≤0对x∈R都成立，

即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．

∵ex＞0，

∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．

∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，

即a2＋4≤0，这是不可能的．

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．

​f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

导数求函数的单调性有关的高考试题分析，讲解2：

已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．

（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；

（2）设g（x）=f（x）/lnx，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤1/4成立，求实数a的取值范围．

考点分析：

利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

题干分析：

（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥1/（lnx 1）在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；

（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤1/4成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

函数的单调性：

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．