微分几何理论（相对论中的微分几何）

研究流形和流形上的物体的数学分支叫作微分几何。在本文中，我们将研究其中的四种对象——标量、逆变向量、1-形式（也称为协变向量）和张量。

实际上，标量、逆变向量和协变向量都是不同类型的张量，但我们首先要把它们看作独立的实体

大多数作者似乎更喜欢用“1-形式”这个词，而不是“协变向量”，所以这就是我们从现在开始要用的。而且，许多作者将逆变向量简单地称为向量。事实上，我们会更草率地使用“向量”作为逆变向量和1-形式的通用术语。希望当我特别提到逆变向量的时候，以及同时提到逆变向量和1-形式的时候，上下文环境能让你们明白。回想一下逆变向量有一个上标

1-形式有个下标

张量可以没有上下标，也可以有一个或多个标。稍后，我们将学习张量代数的规则，包括张量的scaling等运算，一个张量

乘以一个标量S得到一个新的张量

一个张量

对上下标求和得到另一个张量

微分几何是这些规律的理论基础。然而，就像你不需要成为一名汽车工程师来驾驶一辆车一样，如果你想操作张量，你也不需要知道所有的基础数学知识。因此，本文的一些内容都是“引擎盖下”的细节——有用但不是必需的。但是，当我们开始在广义相对论中使用张量的时候，它应该能让你更深入地理解张量是什么。

我们知道，表示大小和方向的量的简单矢量，比如速度。我们可以把这些矢量画成有向线段——一条一端有箭头的线，箭头指向矢量的方向。用笛卡尔坐标，我们知道向量V由它的分量的乘积组成

以及基向量的集合

得到

因为这些坐标轴是很简单的直线，基向量不需要改变方向。这就是为什么笛卡尔向量很容易使用，因为基向量不会改变。这类基是常量，称为非坐标基（即它们不随坐标变化）。

在狭义相对论中，时空是平的，也可以用笛卡尔坐标系来描述。在狭义相对论中，我们已经看到了几个四维向量的例子，包括：

• 四维位置

• 四维速度

• 四维动量

• 四维力

不幸的是，广义相对论中使用的矢量并不是空间中从一点延伸到另一点的有向线段。相反，每个矢量都位于时空中的一个点上。事实上，时空中的每个点本身就是一个矢量空间，并且是无数个矢量的家园。这个向量空间既是一个切空间（包含那些被称为1-形式的对象）。

逆变向量和1-形式应被认为是同一几何物体在时空中某一点的不同表示。下面将详细介绍，但是对于一个逆变向量，考虑一个参数化曲线的切向量；对于1-形式，考虑标量场的梯度。我们稍后会看到度规张量是如何将一个向量转换成它相应的1-形式的，反之亦然。简单向量和我们现在讨论的更抽象的向量都被称为“向量”的原因是它们都遵守定义向量空间的规则。简而言之，向量空间由一组对象（例如称为群X）组成，这些对象可以加在一起并乘以一个标量，结果将是群X的另一个成员。

到目前为止，指标（上下标）都是指特定的坐标系：x, y, z表示笛卡尔坐标系； r， θ， φ代表球面，等等。微分几何要求更抽象地使用指标，它们可以指任何允许的坐标系统。类似地，在广义相对论中，因为我们处理的是弯曲的时空，所以没有首选的坐标系，我们需要能够从任何一个坐标系转换到任何其他坐标系（术语是，使用的是广义坐标系）。

因此，如果

• 式1

是旧坐标，

• 式2

是新的坐标（μ = 0，1，2，3），那么任何连接式1和式2的函数都是允许的，只要：

• 函数是可微的
• 时空中的每一个点都由一组4个数字唯一地标记出来
• 利用逆变矢量和1-形式的变换性质（包括坐标函数的偏导数），我们可以在不同的坐标系之间自由移动。

逆变基向量和1-形式的基向量也定义为坐标函数的导数。我们不需要详细讲，但是可以注意到逆变基向量与坐标曲线相切（沿着它只有一个坐标改变），1-形式的基向量是坐标曲面的梯度（在这个曲面上只有一个坐标保持不变）。这类基（不像笛卡尔坐标系中常存在的非坐标基）随坐标变化，称为坐标基。

然而，向量和1-形式（通常是张量的分量的变换性质是基无关的，这意味着我们通常不需要太担心基向量和基1-形式。关键的是，基无关意味着如果一个张量方程在一个坐标系中成立，那么它在所有坐标系中也成立。因为我们倾向于只引用向量的分量，1-形式，等等。

虽然，在广义相对论的背景下，我们不能有意义地讨论空间中从一点延伸到另一点的有向线段（因为时空是弯曲的），但我们可以定义时空中的一个无限小位移矢量：

数学的力量在于，它允许我们操纵并最终得到物理可测量的量（时间、距离、速度、动量等）。

任何逆变向量或1-形式都是它的分量和某种基的乘积。逆变四维向量通常用字母上的箭头表示，所以用爱因斯坦求和约定

式中

分别是的分量和基向量。1-形式通常由字母上的波浪线表示，如

所以我，再次使用爱因斯坦求和约定

其中

分布是分量和基的1-形式。逆变向量线性作用于1-形式（反之亦然），从而得到一个标量（一个实数）。这是可行的，因为基向量和基1-形式之间的关系是由方程定义的

因此，对于任何一种形式的向量

这是一个标量。

在研究逆变向量和1-形式的变换性质之前，我们先看看当我们从一个坐标系变换到另一个坐标系时标量场会发生什么。这是下一篇文章的内容了。

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