常见的几种无穷级数（好多人并不知道）

欧拉是一位非常著名的数学家，他在无穷级数方面的的研究得出了很多的漂亮结论，让我们从欧拉的一个推广谈起，开始我们的无穷级数之旅探究之旅吧。

欧拉

上图所说的是如何将一个多项式函数写成若干个一次多项式相乘的形式，通过因式分解定理的应用，我们可以将一个多项式函数写成若干个一次多项式相乘的形式。因式分解定理实际上是一个非常有用的定理,因式分解定理：f（x）是多项式，如果a是方程f（x）=0的一个根，那么x-a是多项式f（x）的一个因子，也就是说f（x）可以写成（x-a）*g（x）的形式，其中g（x）为另一个多项式。

欧拉将一个多项式函数写成若干个一次多项式相乘的形式的方法推广到了无穷级数的研究中，这一推广按照现代数学观点看是不严格的，但是欧拉却用这一方法在数学领域做出了前所未有的卓越贡献。

欧拉将上述多项式的根与系数对应关系的情况推广到了无穷级数上面，以现代数学的观点看来，这样做并不严格，但是欧拉的确应用这一推广形式在无穷级数的研究领域得出了正确的答案，从某种程度上说这是十分幸运的。当然这也可能是由于欧拉惊人的数学直觉所导致的。

欧拉关于上述定理的无穷级数推广如下图所示：

我们构造了一个函数sinx/x 并且根据泰勒级数展开的方法得到了一个和我们分析过的很想的幂级数形式。

这样我们得到了我们熟悉的无穷级数形式，下图是具体的推导分析过程：

根据如上论述可知：

具体步骤如下图所示：

欧拉拥有惊人的数学直觉，在他那个年代，数学推导的一些步骤虽然不严格但是却得出了很多漂亮的结果，上述的推导实际上与代数基本定理是有关系的，代数基本定理由德国数学家罗特于1608年提出，但是直到 1799年才被高斯严格证明，在此之前虽然达朗贝尔给出过一个证明但是并不严格！在欧拉去世那年，高斯只有六岁。在欧拉生前，代数基本定理是未解决的数学问题。欧拉凭借惊人的直觉做出了很多大发现，毫无疑问欧拉是历史上一位杰出的数学家。