对数均值不等式的推导过程

对数均值不等式推导过程：（1）取正数x，y，z，有 x≥y≥z≥0，今天小编就来说说关于对数均值不等式的推导过程?下面更多详细答案一起来看看吧!

对数均值不等式的推导过程

对数均值不等式推导过程：

（1）取正数x，y，z，有 x≥y≥z≥0

（2）把x，y，z取对数，有 lnx≥lny≥lnz≥0

（3）将 lnx，lny，lnz 相加，有 lnx+lny+lnz≥3×lny

（4）将 x，y，z 的对数变换回去，有 xyz≥(xy)^3

（5）令 a=x/y，有 a≥1

（6）将（4）式子变形，有 (xy)^3≤xyz，即 y^2z≤x^2yz，即 yz≤x^2yz，即 z≤x^2y

（7）令 b=z/y，有 b≤a^2

（8）将（7）式子带入（6）式子，有 z≤x^2y，即 b≤a^2

（9）结论：对于正数x，y，z，满足条件x≥y≥z≥0时，有 b≤a^2，即z/y≤(x/y)^2，即 z^(1/2)≤xy^(1/2)

完整的对数均值不等式如下：

z^(1/2)≤xy^(1/2)≤(x+y+z)^(1/2)