什么时候用凑微分法（图推想提分吗有手就行的那种）

根据小粉笔的了解，同学们在做图推的时候呢，很容易出现规律吧看不出来，想法吧一个没有的情况。

之前给大家讲了六面体相关问题应该怎么做（文章底部“相关阅读”可跳转），今天来跟大家聊一聊图推另一个很重要的考点“笔画数”，掌握了这些做题技能之后，不光能掌握规律、打开思路，甚至可能看到图动手画两笔就能选出答案！是不是很心动？来，张嘴，都要吃下去哦~

什么是“一笔画”

一笔画即图形由一笔画成，线条不能重复来回画

注意事项

1、一笔画图形可以一笔画成，线条不重复来回画。如图1的圆、图2的五角星可以一笔画成，但图3的“十”无法一笔画出，需要两笔才能画出。

2、考试时给出的图形不会非常简单，如图4和图5。

3、一笔画图形：

（1）线条之间连通：如2个单独的圆不是连通图形，无法一笔画出，若用一条线连接2个单独的圆，则为连通图形。

（2）奇点数=0或2。

①奇点：发射出奇数条线的点，可以看作一个小人站在交点位置，观察交点引出的线的条数，发射出1、3、5、7、9等奇数条线的点为奇点。

②例子：如图6的交点（标红点）发出2条线，2不是奇数，故此点不是奇点；图7的交点（标红点）发出3条线（可以考虑一个人站在交点的位置有3条路可以走），3是奇数，故此点是奇点；图8的交点（标红点）发出3条线，3是奇数，故此点是奇点。

③端点均发出1条线，1是奇数，故端点均是奇点，不要忘记数。图6有2个端点（标蓝点）为奇点，共2个奇点，为一笔画图形。图7有3个端点，交点也是奇点，共4个奇点。图8有3个端点，交点也是奇点，共4个奇点。故三幅图中只有图6为一笔画图形。

4、练习：

（1）图9：“日”字中间横线与左右两侧竖线的交点均发出3条线，均为奇点，共2个奇点，为一笔画图形。

（2）图10：图形中的交点均发出4条线，4是偶数，图形没有奇点。

（3）图11：有2个端点，同时中间横线左右两侧的交点均发出3条线，均为奇点，共4个奇点。

（4）图12：内部线条与外框的交点均发出3条线，均为奇点，共4个奇点。

5、多笔画图形：笔画数=奇点数/2。

（1）图13和图14都有4个奇点，4/2=2，故二者均为两笔画图形。

（2）奇点数一定是偶数，若数出奇数个奇点，说明数错。

（3）多部分图形：要分开看笔画数，再相加。如图15分为2个部分，内部的“十”字有4个奇点，为两笔画图形，外部的圆为一笔画，故图形共三笔画。

图15

常见笔画数特征图

五角星、圆相切/相交、“日”“田”及其变形、多端点、明显一笔画。

注意事项

1、五角星及其变形：如第一组图的图1和图2。

2、圆相交/相切：如第一组图的图3和图4。圆是封闭图形，三角形与圆相切的图形可以看作圆相切的变形，第一组图的图5中4个三角形之间通过点连接，类似于圆相切；2个方块相交的图形可以看作圆相交的变形，故圆相切/相交可以看作封闭图形的相切/相交。

3、“日”字及变形：“日”字变形可以看作封闭图形中加1条线，内部的线条可以为曲线，外框的线条可以为曲线 直线，同时中间的线条可以出头，如“中”。

4、“田”字及变形：“田”字变形可以看作封闭图形加“十”字，内外线条均可以变为曲线，同时内部线条可以出头，类似第三组图的图3。

5、新趋势（近两年考查较多）：

（1）多端点图形：如第四组图的前三幅图。

（2）明显一笔画图形：如第四组图的图4。

6、一笔画 外框=一笔画：“日”字中间的线条可以一笔画出，加上外部的外框后仍为一笔画图形。五角星可以一笔画出，外部加上圆形外框后仍然可以一笔画出，如第一组图的图2。

7、图形如果复杂需要数奇点，常见的奇点是端点和“丁”字路口（三岔口）的交点，故要优先数出端点和“T”字路口。

真题演练

例1

（2015联考）请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

【解析】

本道题为2015年联考的真题，题目非常经典，记住本道题中的图形对于一笔画题目非常有帮助。

图1为五角星，图3为“日”字变形，A项为“田”字变形，C项为圆相切，均为笔画数特征图，考虑一笔画。

图1是五角星，为一笔画图形；图2共0个交点，为一笔画图形；图3是“日”字变形，为一笔画图形；图4中间的线条为一笔画图形，加上外框，仍为一笔画图形，故“？”处选择一笔画图形。

A项：是“田”字变形，共4个奇点，为两笔画图形，排除。

B项：4个端点为奇点，此时已经有4个奇点，一定不是一笔画图形，不需要数出所有的奇点即可排除，若数出所有奇点，共6个奇点，为三笔画图形，排除。

C项：为圆相切，属于一笔画图形，当选。

D项：共4个奇点，为两笔画图形，排除。【选C】

【注意】

1、例1的图2可以看作圆相切，同时可以看作三角形 外框，为一笔画图形。

2、奇点数=0或2的封闭图形为一笔画图形。

例2

（2017联考）请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

【解析】

图1和B项为圆相切，图4为“日”字变形，A项为“田”字变形，C、D项的端点较多，考虑笔画数。

图1为圆相切，属于一笔画图形；图2左上角和右上角的交点均发出3条线，均属于奇点，共2个奇点，为一笔画图形；图3只有上方圆内部直线上下交点为奇点，共2个奇点，为一笔画图形。图4为“日”字变形，只有中间竖线上下交点为奇点，共2个奇点，为一笔画图形，故“？”处选择一笔画图形。

A项：为“田”字变形，属于两笔画图形，排除。

B项：为圆相切，一笔画图形，当选。

C项：共4个奇点，为两笔画图形，考试时当数出3个奇点即可排除图形，排除。

D项：有4个端点为奇点，为两笔画图形，排除。【选B】

【注意】

1、圆相切不仅仅是圆之间相切，圆和直线的相切也可以看作圆相切。

2、解题时无需数出所有的奇点，如例2C项的奇点在解题时无需全部数出，数出3个奇点即可排除C项。

例3

（2018广西）请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

A.①③④，②⑤⑥ B.①③⑤，②④⑥

C.①②⑥，③④⑤ D.①④⑥，②③⑤

【解析】

图①出现圆与其他图形相切，图③出现圆相交，可以优先考虑笔画数。

图①共2个奇点，为一笔画图形；图②的标红点均引出3条线，共4个奇点，为两笔画图形；图③没有奇点，为一笔画图形；图④有2个奇点，为一笔画图形；图⑤有4个奇点，为两笔画图形；图⑥有4个奇点，为两笔画图形。

因此，图①③④一组，为一笔画图形；图②⑤⑥一组，为两笔画图形，A项当选。【选A】

【注意】

若认为例4难度较大，要记住其中的图形，图①为圆相切，图③类似圆相交，图④内部图形只有3条线，明显可以一笔画出，同时外框为三角形，属于一笔画图形 外框，为一笔画图形，遇到此图形可以优先考虑笔画数。

例4

（2020国考）请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

【解析】

图1的“B”和图2明显可以一笔画出，图3内部是圆加一条线，属于“日”字变形，一笔画图形 外框仍然为一笔画图形；图4内部图形为2个三角形之间以点连接，可以看作2个圆相切，属于一笔画图形，一笔画图形 外框仍然为一笔画图形；图5内部为椭圆加1条线，属于“日”字变形，“日”字变形加外框后仍然可以一笔画出。

题干图形均可以一笔画出，“？”处选择一笔画图形。

A项：共4个奇点，为两笔画图形，排除。

B项：下方为“日”字变形，共2个奇点，可以一笔画出，当选。

C项：有4个奇点，为两笔画图形，排除。

D项：上方为“田”字变形，有4个奇点，一定不是一笔画图形，排除。【选B】

【注意】

要记住图2的三角形相切，同时要记住一笔画图形 外框后仍为一笔画图形。

例5

（2018辽宁）请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

【解析】

题干图1为“古”字变形，图3为“田”字变形图，图4为圆相切变形，选项中B项为圆相切，考虑笔画数。题干图形的笔画数依次为2、1、2、1、2，故“？”处图形的笔画数应为1。四个选项的笔画数分别为1、1、2、1，排除C项；数量规律一般与属性规律（对称、曲直、开闭）复合考查，观察题干图形均为直线图形，因此排除B、D项，A项当选。【选A】

【注意】

“古”字及其变形为笔画数特征图，“田”为一个框加“十”字，“古”就是将“田”中的“十”拿到外部。

笔画数小结

1、掌握特征图：熟悉特征图才能快速定位考点，若发现五角星、圆相切/相交、“日”“田”及其变形、多端点、明显一笔画图形，优先考虑笔画数。

2、一笔画：线条之间连通且奇点数为0或2，数奇点数若还不熟悉，建议课下多听回放，再多刷题，多数几次，熟能生巧。

3、多笔画为奇点数除以2。

4、小技巧：一笔画加外框仍然为一笔画。

5、常见奇点：端点、丁字路口（“日”字中间小横线两端）。

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