立体几何体积和表面积专题(干货空间几何体的表面积和体积)

一、空间几何体的表面积

问题1:有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发,沿着圆柱侧面爬行一周,到达上底面圆周上一点B(线段AB是圆柱的一条母线),问蚂蚁爬行的最短路线是多长?

平面展开图:沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形,这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。

(一)棱柱、棱锥、棱台的侧面积

1、直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。

正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

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◆S直棱柱侧=ch其中c为棱柱的底面周长,h直棱柱的高。

2、正棱锥

定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。

性质:

(1)正棱锥的侧棱长相等。

(2)侧棱和底面所成的角相等。

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。

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◆S正棱锥侧=1/2ch´(其中c为棱锥底面周长,h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高)

3、正棱台

定义:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面之间的部分叫做正棱台。

侧面展开图是由各个侧面组成的。

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S正棱台侧= 1/2(c + c’)h’

(其中c,c’为棱台上下底面的周长,h’为各个等腰梯形的高,即棱台的斜高)。

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(二)、圆柱、圆锥、圆台的侧面积

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上,展开图的面积就是它们的侧面积。

1、圆柱的侧面积

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◆如果圆柱底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是

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2、圆锥的侧面积

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◆如果圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是

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3、圆台的侧面积

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◆如果圆台的上、下面半径是r'、r,周长分别是c'、c,侧面母线长是 l,

,那么它的侧面积是

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二、柱锥台的体积公式

长方体的体积公式是什么?如:某长方体的长宽高分别是7cm,5cm,4cm,其体积为多少,即为多少个正方体?

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1、祖暅原理

两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等。

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2、柱体的体积公式

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3、锥体的体积公式

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4、台体的体积计算公式

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◆柱体,锥体,台体之间的关系:

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5、球体的体积公式与表面积公式

(1)利用祖暅原理可得

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(2)利用极限的思想推导出球的表面积公式:S球面=4πR2

典型例题

例1. 有一根长为5 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1 cm)

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解:由题意知:BC=5 cm,AB=8

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,点A与点C就是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC=

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例2. 如图是一个奖杯的三视图,(单位:cm)试计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm3)。

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解:V正四棱台=

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V长方体=6

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=864

V球 =

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V= V正四棱台 + V长方体+ V球

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例3. 一个圆柱形的锅炉,底面直径d=1m,高h=2.3m。求锅炉的表面积(保留2个有效数字)。

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解:底面半径r=1/2 S侧面积= cl=2πrl=πl=2.3π

S表面积 = S侧面积+ S底面积=2.3π 1/2π≈8.7

例4. 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm,高是

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cm,求三棱台的侧面积。

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解:如图

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。连接AO并延长交BC于D,连结

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,并延长交

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,过

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E

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AD于E

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DE=DO-

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S正三棱台

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,

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