谁引发了第一次数学危机（第一次数学危机）

作者：大神团·杨浩

作者介绍：杨浩，新东方超尖生计划授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

通向真理的道路往往是曲折的。

我们读者的数学水平，对于“数轴上的点和实数一一对应，而实数又被分为有理数和无理数”，这句话，显然是很容易明白的。

然而，世人认同这个公理，却并不是那么一帆风顺的。第一个发现无理数的学者，甚至被抛进大海淹死。

毕达哥拉斯学派

无理数的发现，要追溯到古典希腊数学时期（公元前600年—公元前300年）的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成，他们认为宇宙可以用一个单独的主要原理加以说明，这原理就是——

“数皆万物，万物皆数”。

他们认为，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。

由此，他们提出了“美是和谐”的观点，把美学视为自然科学的一个组成部分，在对数学的探索中，不断地追求美的形式。

希腊人的一个重大贡献是，数学上的东西，比如数、图形等，都看作思维的抽象，均与实际事物截然不同。而这个观点，就来自于毕达哥拉斯学派。他们是首先学会将数和图形等抽象概念单独进行研究的。

其实那时候，古希腊已经对分数有所应用，但分数只用在商业上的用途，用于表示钱币和度量单位。正统的希腊数学，对分数这个概念嗤之以鼻。算术在商业上的应用，都是在正统希腊数学范围之外的。

但是，古希腊的毕达哥拉斯派，他们却认为“只有整数才算是数”。他们认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即用有理数来描述。

无理数的发现

来听听下面这段描述：

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点，并且这样能把直线上所有的点用完。

确实，这段描述，看起来确实难以找出破绽。然而有一天，毕达哥拉斯学派的一位年轻成员希帕索斯发现，一个正方形的对角线与其一边的长度之比并不能用整数之比表达。

若正方形的边长为1，则对角线的长为根号2，这种不能用整数之比表达的数，希帕索斯把它称为不可公度比。

希帕索斯认为， 既不是整数，也不是分数，是当时人们还没有认识的新数。

他这一发现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的基础，直接就推翻了他们的理论，引起了学派内广大信徒的恐慌。

学派在当时只有两个选择：

1、承认他们发现的勾股定理是错误的。

2、承认确实存在有理数以外的数。

要知道，毕达哥拉斯学派，可不仅仅是一个数学理论派别。在当时，他们更是一个政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别。

据史料记载，那个时代，如果想要加入毕达哥拉斯学派，需要参加仪式，接受净化，并誓言保密。

他们被要求按照一套严格的，有时是离奇的规则生活：不能吃肉、不能吃豆子、不能用刀搅动火、不能戴戒指等等。

为了维护学派的威信，他们严密封锁了希帕索斯的发现，并对所有泄露出去的信徒处以极刑——活埋。

然而真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，他的发现还是被许多人知道了。

学派的执法部门追查了许久，最终发现，泄密的人竟然是——希帕索斯本人。

按照规矩，学派计划要把希帕索斯进行活埋，希帕索斯听到风声后，立即逃跑到了国外。在国外流浪了几年后，由于思念家乡，他偷偷地返回了希腊。然而他还没有踏上祖国的土地，毕达哥拉斯的忠实门徒就在海船上发现了希帕索斯。

希帕索斯，就这样被残忍的扔进了地中海。

古希腊数学的革命

但是，人们追逐真理的脚步是不停歇的。虽然毕达哥拉斯学派不愿意接受，但最终，他们还是开始了相关的研究。

约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克索斯（Eudoxus），通过这样一段逻辑，解决了关于无理数的问题——

他避免把无理数当做数，通过引入变量的概念，来表示线段长度、角的大小以及其他量与量的比，而不给定具体的数值。

这种新的比例理论给不可公度提供了逻辑依据。

无理数的发现，也成为第一次数学危机的导火索之一。

这次数学危机让后人意识到，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。

整数的尊崇地位由此，受到了严重的挑战。古希腊的数学观点更是受到了极大的冲击。

从这次数学危机开始，几何学开始在希腊数学中占有了特殊地位，古希腊的几何学进展也借此得以大大推进。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立了几何学体系。

然而另一方面，欧多克索斯的理论也引发了严重的后果。

古希腊的数学界，从一个极端跳跃到了另一个极端。在这以后，他们把数与几何进行了完全割裂。数学家们全都涌入几何研究中，认为几何才是严密数学的基础。

对无理数本身的研究和纯代数理论的发展，就此被搁置了近2000年。

古希腊时期，希帕索斯用生命换来了数学的发展，作为新时代青年，我们应该形成自己的独立思想，锻炼自己的判断能力。

牛顿对待真相的态度是：思索，继续不断的思索，以待天曙，渐近乃见光明。

这句话，与诸位读者共勉。

作者介绍：杨浩，新东方超尖生计划授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。新东方智慧学堂（zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。

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