谁引发了第一次数学危机(第一次数学危机)

谁引发了第一次数学危机(第一次数学危机)(1)

作者:大神团·杨浩

作者介绍:杨浩,新东方超尖生计划授课老师,北大学士。全国高中数学联赛一等奖,高中物理竞赛一等奖,获得北京大学自主招生60分降分。

通向真理的道路往往是曲折的。

我们读者的数学水平,对于“数轴上的点和实数一一对应,而实数又被分为有理数和无理数”,这句话,显然是很容易明白的。

然而,世人认同这个公理,却并不是那么一帆风顺的。第一个发现无理数的学者,甚至被抛进大海淹死。

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毕达哥拉斯学派

无理数的发现,要追溯到古典希腊数学时期(公元前600年—公元前300年)的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成,他们认为宇宙可以用一个单独的主要原理加以说明,这原理就是——

“数皆万物,万物皆数”。

他们认为,事物的性质是由某种数量关系决定的,万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。

由此,他们提出了“美是和谐”的观点,把美学视为自然科学的一个组成部分,在对数学的探索中,不断地追求美的形式。

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希腊人的一个重大贡献是,数学上的东西,比如数、图形等,都看作思维的抽象,均与实际事物截然不同。而这个观点,就来自于毕达哥拉斯学派。他们是首先学会将数和图形等抽象概念单独进行研究的。

其实那时候,古希腊已经对分数有所应用,但分数只用在商业上的用途,用于表示钱币和度量单位。正统的希腊数学,对分数这个概念嗤之以鼻。算术在商业上的应用,都是在正统希腊数学范围之外的。

但是,古希腊的毕达哥拉斯派,他们却认为“只有整数才算是数”。他们认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比,即用有理数来描述。

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无理数的发现

来听听下面这段描述:

在一条水平直线上,标出一段线段作为单位长,如果令它的左端点和右端点分别表示0和1,则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数,正整数在0的右边,负整数在0的左边。以q为分母的分数,可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是,每一个有理数都对应着直线上的一个点,并且这样能把直线上所有的点用完。

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确实,这段描述,看起来确实难以找出破绽。然而有一天,毕达哥拉斯学派的一位年轻成员希帕索斯发现,一个正方形的对角线与其一边的长度之比并不能用整数之比表达

若正方形的边长为1,则对角线的长为根号2,这种不能用整数之比表达的数,希帕索斯把它称为不可公度比

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希帕索斯认为, 既不是整数,也不是分数,是当时人们还没有认识的新数。

他这一发现,直接动摇了毕达哥拉斯学派的基础,直接就推翻了他们的理论,引起了学派内广大信徒的恐慌。

学派在当时只有两个选择:

1、承认他们发现的勾股定理是错误的。

2、承认确实存在有理数以外的数。

要知道,毕达哥拉斯学派,可不仅仅是一个数学理论派别。在当时,他们更是一个政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别。

据史料记载,那个时代,如果想要加入毕达哥拉斯学派,需要参加仪式,接受净化,并誓言保密。

他们被要求按照一套严格的,有时是离奇的规则生活:不能吃肉、不能吃豆子、不能用刀搅动火、不能戴戒指等等。

为了维护学派的威信,他们严密封锁了希帕索斯的发现,并对所有泄露出去的信徒处以极刑——活埋。

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然而真理是封锁不住的,尽管毕达哥拉斯学派规矩森严,他的发现还是被许多人知道了。

学派的执法部门追查了许久,最终发现,泄密的人竟然是——希帕索斯本人。

按照规矩,学派计划要把希帕索斯进行活埋,希帕索斯听到风声后,立即逃跑到了国外。在国外流浪了几年后,由于思念家乡,他偷偷地返回了希腊。然而他还没有踏上祖国的土地,毕达哥拉斯的忠实门徒就在海船上发现了希帕索斯。

希帕索斯,就这样被残忍的扔进了地中海。

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古希腊数学的革命

但是,人们追逐真理的脚步是不停歇的。虽然毕达哥拉斯学派不愿意接受,但最终,他们还是开始了相关的研究。

约在公元前370年,柏拉图的学生欧多克索斯(Eudoxus),通过这样一段逻辑,解决了关于无理数的问题——

他避免把无理数当做数,通过引入变量的概念,来表示线段长度、角的大小以及其他量与量的比,而不给定具体的数值。

这种新的比例理论给不可公度提供了逻辑依据。

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无理数的发现,也成为第一次数学危机的导火索之一。

这次数学危机让后人意识到,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。反之,数却可以由几何量表示出来。

整数的尊崇地位由此,受到了严重的挑战。古希腊的数学观点更是受到了极大的冲击。

从这次数学危机开始,几何学开始在希腊数学中占有了特殊地位,古希腊的几何学进展也借此得以大大推进。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,建立了几何学体系。

然而另一方面,欧多克索斯的理论也引发了严重的后果。

古希腊的数学界,从一个极端跳跃到了另一个极端。在这以后,他们把数与几何进行了完全割裂。数学家们全都涌入几何研究中,认为几何才是严密数学的基础。

对无理数本身的研究和纯代数理论的发展,就此被搁置了近2000年。

古希腊时期,希帕索斯用生命换来了数学的发展,作为新时代青年,我们应该形成自己的独立思想,锻炼自己的判断能力。

牛顿对待真相的态度是:思索,继续不断思索,以待天曙,渐近乃见光明。

这句话,与诸位读者共勉。

作者介绍:杨浩,新东方超尖生计划授课老师,北大学士。全国高中数学联赛一等奖,高中物理竞赛一等奖,获得北京大学自主招生60分降分。新东方智慧学堂(zhihuixuetang_xdf),与精英为伍,成就未来精英。

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