二次函数课程模板（二次函数讲义一）

二次函数 y = ax2 (a ≠ 0) 与 y = ax2 c (a ≠ 0) 的图象与性质

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数 y= ax2 (a≠0) 与 y = ax2 c (a ≠ 0) 的图象，

并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；

3. 掌握二次函数 y=ax2 (a ≠ 0) 与 y = ax2 c (a ≠ 0) 的图象的性质 .

【知识点梳理】

1、二次函数的概念

一般地，形如 y= ax2 bx c（a ≠ 0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数 .

若 b = 0，则 y = ax2 c；

若 c = 0，则 y = ax2 bx；

若 b = c = 0，则 y = ax2 .

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而 y = ax2 bx c（a ≠ 0）是二次函数的一般式 .

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

注：

如果 y = ax2 bx c ( a , b , c 是常数，a ≠ 0 )，那么 y 叫做 x 的二次函数．

这里，当 a = 0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 .

2、二次函数解析式的表示方法

① 一般式：

② 顶点式：

③ 两根式：

注：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与轴有交点，即 b^2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．

二次函数解析式的这三种形式可以互化 .

3、二次函数 y = ax2（a ≠ 0）的图象及性质

① 二次函数 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的图象

用描点法画出二次函数 y = ax2（a ≠ 0）的图象，

如图，它是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线 .

因为抛物线 y = x2 关于 y 轴对称，

所以 y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，

从图上看，抛物线 y = x2 的顶点是图象的最低点 .

因为抛物线 y = x2 有最低点，所以函数 y = x2 有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标 .

② 二次函数 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的图象的画法

用描点法画二次函数 y = ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的值，

然后计算出对应的 y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确 .

注：

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 .

③ 二次函数 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的图象的性质

顶点决定抛物线的位置 .

几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，

只是顶点的位置不同.

│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近 x 轴 .

4、二次函数 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的图象及性质

① 二次函数 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的图象

（1） a > 0

（2） a < 0

② 二次函数 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的图象的性质

【典型例题】

类型一、二次函数的概念

【例题1】

此题根据二次函数和一次函数的定义，确定 m 的值．

(1) 题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零．

(2) 题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏．

类型二、二次函数 y = ax2（a ≠ 0）的图象及性质

【例题2】

分别在 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，运用勾股定理分别表示出 B1、B2、B3的坐标，

利用抛物线解析式建立等式，分别求出 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 的边长，

然后探究规律，求出 △A2012A2013B2013 的边长．

类型三、二次函数 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的图象及性质

【例题3】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为 6 m，跨度为 8 m，

把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点 P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5 m．

求灯与点 B 的距离．

本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．

此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y = ax2 6，把点A（-4，0）代入即可；

（2）灯离地面高 4.5 m，即 y=4.5 时，求 x 的值，再根据 P 点坐标，勾股定理求 PB 的值.

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