导数积分与微分之间的关系（导数五大性质带你窥探微分与积分的奇妙）

导数，也叫导函数值，是微积分中的重要基础概念。高中的导数知识是微积分的简化概念，是大学高数微积分的入门，只有熟练掌握了导数的性质才能学习微积分及更多数学家研究出来的神奇定理，例如很多人常常说到的拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，牛顿--莱布尼兹公式等等。这些是微积分中的重要定理也是微积分学习的难点。下面我们从导数的概念和性质开始，再谈谈微分和积分。

导数用简单的话来说就是函数中某一点极限上的变化情况，所以导数的几何意义就是该函数曲线在这一点上的切线斜率，因此也是不难理解的。

数学解释就是：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

数学表达式为：

在导数的运用中涉及到了五大性质我们在高中是必须掌握的，也是高考的必考内容，因此要求同学必须熟练掌握性质并知道如何运用性质进行解题，五大性质分别是1、函数的求导法则2、导数四则运算法则3、导数与函数的单调性4、导数与函数的极值5、导数与函数的最值。

1、函数的求导法则

高中我们需要记住以下常用函数的导函数：

2、导数四则运算法则

3、导数与函数的单调性

（1）若函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f'(x)>0,则y=f（x）为增函数，如果f'(x)<0,则y=f（x）为减函数函数。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

（3）如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。

即函数的单调性讨论是在其规定的区间内讨论的，此区间可以是函数的定义域或是题目指定的区间内讨论。区间可以存在增减两种情况，通过导函数的值大于零或小于零来判断。

4、导数与函数的极值

函数极值的判别方法：当函数f（x）在X0处连续时

①如果在X0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f'(x0)是极大值。反之如果在X0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f'(x0)是极小值。此时f'(x0)=0

特别说明：函数的极值局部区间讨论的结果，f'(x0)=0并不是函数极值点的充要条件，必须讨论f'(x)的两则值时候异号才能确认是极值点，因为函数的断点和驻点的f'(x)的值都可能为零。

5、导数与函数的最值

函数的最值是在极值的基础上用极值的大小与函数区间端点大小比较得出函数的最大值与最小值。

因此，求函数的最值时必须先讨论出函数的极值，再求出端点大小进行比较。

在清楚的认识了导数与函数的这五大性质之后，我们通过一道例题来详细剖析，上述性质在解题过程中的应用，同时我也会讲讲微分与积分和导数的关系。

例题分析：1、利用奇函数的性质得出C=0；2、已知直线垂直求出点的斜率等于这点的导数值求出a、b的值；3、求单调递增区间则是求出导函数的解判断导函数的值在解的两则是大于零还是小于零，大于零的为单调递增区间；4、讨论出函数的增减区间得到局部区间[-1,3]的极大值或极小值与端点-1和3的取值比较得到函数的最大与最小值。

由此可见只要掌握好导数与函数的五大性质就可以轻松求解导数问题。

下面我会继续讲讲高等数学中微分与积分和导数的关系。

微分，顾名思义就是微小分割的意思，就是我们需要求函数中某一点的切线时，在图像上是很难找到这点并做切线求出斜率。这时候就引入微分的概念，通过这点的变化量在极限状态下无限靠近的方法，求得这点的斜率。

由此可知，所谓的导数只是高等数学微分概念的一种求斜率的特殊情形，所以求导和求微分可看做是相同东西不同的叫法。因为当函数的自变量变为多元变量时，导数的法则就不再适用了。

积分，顾名思义就是积累分量的意思，就是给定某个函数在实数区间上在平面坐标中曲线、直线、坐标轴围成图形的面积。因为我们是很难求出曲线图形的面积，因此我们可以把曲线图形进行细小的分割再重新组合起来，这就是积分的数学含义。

通常我们说函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。

而积分的求解则是通过反导的方法，即要求函数是导函数，反过来求原函数，再用原函数代入值求解。

以上就是微分和积分与导数的一些基础概念的理解，想要深入了解的各位可以自己找相关高等数学的书进行学习，我相信你们一定会打开数学新世界的大门的。