高考数学正余弦定理大题类型（平行对角线面定理）

2022年高考数学理科全国乙卷有这么一道关于正方体的选择题，题目不是很难，而且出题人很友好，答案很容易就可以得到。不过这道题却隐藏着两个很麻烦的问题，如果你能够发现并解决它们，将来数学的成绩肯定会非常好的。

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别为AB，BC的中点，则

A. 平面B1EF⊥平面BDD1; B. 平面B1EF⊥平面A1BD;

C. 平面B1EF//平面A1AC; D. 平面B1EF//平面A1C1D

分析：这道题的一般解决方法，就是画出草图，用立体几何的知识，结合空间想象力，分别判断四个选项是否正确。结果第一个选项就是正确的。这也太容易了吧。

但是你要想想，以后的出题人，未必有这么友好。如果把答案藏得越后，需要分析的问题就越多，虽然不算难，但会很耗费时间。关键是你也不知道出题人把答案设计在第几个选项，应该先分析哪个选项啊。

因此，老黄就拓展出第一个难题。如果我们能够把正方体中各个平面归类总结，比如六个侧面就很明显。把侧面上两条平行的对角线所形成的面，称为“平行对角线面”的话。可以发现，正方体是关于平行对角线面“体对称”的。而且这样的“平行对角线面”是两两互相垂直的。从而，如果一个平面，可以找到一条直线，与某一个“平行对角线面”互相平行，那么，这个平面，就与另一个与该“平行对角线面”互相垂直的“平行对角线面”互相垂直。且这个平面在正方体内的部分是对称图形。累死老黄了！老黄就姑且称之为“平行对角线面定理”吧。

比如A选项中的平面BDD1，其实就是一个“平行对角线面”，因为有一对平行的侧面对角线BD和B1D1在这个面上。只要连接B1D1就可以直观地发现。而平面B1EF就是符合上面的定理所描述的那种平面，观察图形，很容易看出，平面BDD1就垂直于平面B1EF。

用立体几何的知识分析A选项的过程是：因为BB1⊥EF, 且DB⊥EF, 所以EF⊥平面BDD1,从而平面B1EF⊥平面BDD1. 虽然这也很容易，但如果能归纳出“平行对角线面定理”，结合空间想象力，甚至一眼就可以看出，A选项是正确的。不过正方体上的其它平面的归类，以及性质探究，老黄暂时还没办法全部完成。

老黄在画图之前，就尝试用空间想象力，想象出了上面这种情形，并很快确定了答案就是A，并不需要作图去探究。当然，每个人在数学上的感觉不同，需要作图时，还是要作图的。比如，老黄就想象不出选项B的情形，甚至做了图也很难分析清楚。

因此这道题隐藏的第二个难题，就来自B选项。直观可以看出B选项的草图中，平面B1EF和平面A1BD是不互相垂直的。特别是结合A选项，就更清楚了。但是问题来了，你要怎么用数学的方法，证明它们不互相垂直。这个问题老黄想了很久。虽然题目的答案已经得到，但对数学的探究，可不能因为答案的得到而戛然而止哦。为此老黄做了下面这个图，来帮助证明：

易证平面EE1F1F⊥平面A1BD, 因为平面EE1F1F与“平行对角线面”ACC1A1平行，而三角形A1BD符合“平行对角线定理”，与“平行对角线面”ACC1A1互相垂直，因此平面EE1F1F⊥平面A1BD。

平面EE1F1F∩平面B1EF=EF，若平面B1EF⊥平面A1BD, 则EF⊥平面A1BD, 不成立! 这里运用了一个定理：若两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面。老黄所有的定理都是即时蒙出来的。欢迎你来证明老黄“瞎蒙”的定理是错误的。而且它的逆命题也是成立的。

所以这道简单的选择题中，隐藏的两个“难题”，第一个老黄只解决了一部分，第二个就被老黄解决了。因为第一个才是真正的难题。

C选项就特别简单了，因为直线AA1和B1E有交点，两个平面与第三个平面的两条交线有交点，这样的两个平面就不可能互相平行。这个定理是显而易见的。但其逆命题并不成立。

D选项就还稍有点麻烦。因为从上图很能“蒙”出一个定理来直接说明它们不互相平行。因此需要做辅助线如下，就是做出一个“平行对角线面”BDD1B1，连接下底面的中点O1和D，以及B1和EF的中点M.

与C选项的分析同理，如果两个平面互相平行，那么就必有DO1平行于B1M，这显然是不成立的，所以D选项也错误。

学习数学，应该注重知识本身，什么难不难，易不易的，就不要过多去考虑了，正所谓“天下数学，有难易乎？学之，难者亦易矣；不学，则易者亦难矣”。