椭圆双曲线经典例题及答案（双曲线的直径性质）

2018江西省八所重点中学联考试题，我发现文科第11题，正确率很低，所以决定今天对这道题从思路和深度上做些分析，供同学们参考。

这份文科试卷是一份有“内涵”的试卷，理科生也值得一做噢~

1.老规矩，先上题，自主探究

正面解答本题，不少童鞋是有困难的，否则也不会得分了的童鞋这么少呐！那怎么办？不妨小题小做，可好？！

2.选择题，尝试小题小做（学霸请无视）

大胆猜想：直线l在平移的过程中，没有对问题结论产生变化。由此产生想法，可以考虑将直线l平移到恰当的位置，如图中的右顶点M处（为神马移到右顶点呢？有些讲究是不？）。

那么容易分析得到：三角形QMN为等腰三角形，且腰长QM=MN=2a，从而推得

,代入双曲线方程，解得a/b=1，故选B.

3.一般情况下会提供的参考答案如下

看完答案，不少同学都表现的一脸懵：都看得懂，就是不知道怎么想到的！如果你是这种情况，下面提供学霸的解法就更懵了！

4.学霸们的解法：秒杀！

其实学霸们的解法，与上是一样的，差别是学霸们跳过前面的运算，直接从这里开始：

怎么回事呢？其实这里涉及到一个内容：椭圆、双曲线的直径的性质。如果平时掌握了这些性质，那这种题遇到了，你秒杀就没问题滴。下面我们就来系统的认识一下椭圆、双曲线的直径性质。

5.椭圆、双曲线的直径性质

我们知道过圆心的弦，称为圆的直径（定长）。类似的，我们把过椭圆、双曲线的对称中心的弦，称为它们的直径（长是变化的）。类比圆的直径性质，我们可以得到椭圆、双曲线的直径的一些性质：

圆的性质1：

设M、Q为圆O（O为坐标原点）的一条直径，点N是圆O上不同于M、Q的任一点，则：

类比，椭圆的性质1：

证明过程：

类比，双曲线的性质1：

综上所述，无论是椭圆还是双曲线，结论都为：

性质2：（1）设M、Q为两个定点，动点N满足

，则动点N的轨迹是以MQ为直径的圆（除M、Q）；

（2）设M（-a,0）、Q(a,0)为两个定点，动点N满足

，则动点N的轨迹是以MQ为长轴的椭圆（除M、Q）；

（3）设M（-a,0）、Q(a,0)为两个定点，动点N满足

，则动点N的轨迹是以MQ为实轴的双曲线（除M、Q）；

好了，有了以上的结论，回过头去看联考题，直接利用结论跳过结论的证明过程，是不是比别人快多了呢？！最重要的是，审题的过程你会十分的清楚题目考什么内容，思路会自然的生成！！这是解决困惑的核心部分。

最后，如果你有兴趣，不妨动笔试试：当焦点变换到y轴时，以上结论又如何？

“一篇小短文，一个小中心；立足学情，创作‘1 1’；写细节，写学法，写思路，偶尔也写小专题……，未必要写高深难，写出的恰是你需要的、有帮助的，就是最好的。”

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