matlab正态分布样本方差（MATLAB双因素一元方差分析）

双因素一元方差分析

（1.）双因素一元方差分析的MATLAB实现

MATLAB统计工具箱中提供了anova2函数，用来做双因素一元方差分析，其调用格式如下：

<1>p=anova2(X,reps)

根据样本观测值均值X进行均衡实验的双因素一元方差分析。X的每一列对应因素A的一个水平，每行对应因素B的一个水平，X还应满足方差分析的基本假定。reps表示因素A和B下的每一个水平组合下重复实验的次数。

anova2函数检验矩阵X的各列是否具有相同的均值，即检验因素A对实验指标的影响是否显著，原假设为：

H0A：X的各列具有相同的均值（或因素A对实验指标的影响不显著）

anova2函数还检验矩阵X的各行是否具有相同的均值，即检验因素B对实验指标的影响是否显著，原假设为：

H0B：X的各行有相同的均值（或因素B对实验指标的影响不显著）

若参数reps的取值大于1（默认值为1），anova2函数还检验因素A和因素B的交互作用是否显著，原假设为：

H0AB: A和B的交互作用不显著

anova2函数返回检验的p值，若参数reps的取值等于1，则p是一个包含2个元素的行向量；若参数是reps的取值大于1，则p是一个包含3个元素的行向量，其元素粉笔是与H0A，H0B，H0AB对应的检验的p值。当检验的p值小于或等于给定的显著性水平时，应拒绝原假设。

anova2函数还生成1个图形，用来显示一个标准的双因素一元方差分析表。方差分析表把数据之间的差异分为三部分（当reps=1时）或四部分（当reps=2时）：

<2>p=anova2(X,reps,displayopt)

通过displayopt参数指定是否显示带有标准双因素一元方差分析表的图形窗口，当displayopt参数设置为‘on’（默认情况）时，显示方差分析表；当displayopt参数设定为‘off’时，不显示方差分析表。

<3>[p,table]=anova(.....)

返回元胞数组形式的方差分析表table（包含列标签和行标签）。

<4>[p,table,stats]=anova2(......)

返回一个结构体变量stats，用于进行后续的多重比较。

（2）例：为了研究肥料使用量对水稻产量的影响，某研究所做了氮（因素A）、磷（因素B）两种肥料施用量的二因素试验。氮肥用量设低、中、高三个水平，分布使用N1，N2和N3表示；磷肥用量设低、高2个水平，分别用P1，P2表示。供3x2=6个处理，重复4次，随机区组设计，测得水稻产量如下表

处理	区组
1	2	3	4
N1P1	38	29	36	40
N1P2	45	42	37	43
N2P1	58	46	52	51
N2P2	67	70	65	71
N3P1	62	64	61	70
N3P2	58	63	71	69

根据上表中的数据，不考虑区组因素，分析氮、磷两种肥料的施用量对水稻产量是否有显著性影响，并分析交互作用是否显著。取显著性水平=0.05；

注意：这里不需要进行正态性和方差性齐次性检验，因素数据少，在数据比较少的情况下正态检验的结果是不可靠的，即使不满足方差分析的假定，方差分析的结果通常也是比较稳定的。

双因素一元方差分析首先要把数据矩阵处理一下，要把矩阵装换成每一列对应因素A的一个水平，每行对应因素B的一个水平。本例中，每一列对应一个A因素（氮）水平，每一行对应一个B因素（磷）水平；反过来也可以。

处理	区组
1	2	3	4
N1P1	38	29	36	40
N1P2	45	42	37	43
N2P1	58	46	52	51
N2P2	67	70	65	71
N3P1	62	64	61	70
N3P2	58	63	71	69

先转置为

N1P1	N1P2	N2P1	N2P2	N3P1	N3P2
38	45	58	67	62	58
29	42	46	70	64	63
36	37	52	65	61	71
40	43	51	71	70	69

把第2列，第4列，第6列接到第1列，第3列，第5列下面

N1P1	N2P1	N3P1
38	58	62
29	46	64
36	52	61
40	51	70
N1P2	N2P2	N3P2
45	67	58
42	70	63
37	65	71
43	71	69

提出公共项

	N1	N2	N3
P1	38	58	62
P1	29	46	64
P1	36	52	61
P1	40	51	70
P2	45	67	58
P2	42	70	63
P2	37	65	71
P2	43	71	69

%定义一个矩阵，输入原始数据

yield=[38 29 36 40

45 42 37 43

58 46 52 51

67 70 65 71

62 64 61 70

58 63 71 69];

yield=yield'; %矩阵转置

%将数据矩阵yield转换成8行3列的矩阵，列对应因素A（氮），行对应因素B（磷）

yield=[yield(:,[1,3,5]);yield(:,[2,4,6])];

%定义元胞数组，以元胞数组形式显示转换后的数据

top={'因素','N1','N2','N3'};

left={'P1';'P1';'P1';'P1';'P2';'P2';'P2';'P2'};

%显示数据

[top;left,num2cell(yield)]

%调用anova2函数作双因素方差分析，返回检验的p值向量，方差分析表，结构体标量stats

[p,table,stats]=anova2(yield,4)

ans =

'因素' 'N1' 'N2' 'N3'

'P1' [38] [58] [62]

'P1' [29] [46] [64]

'P1' [36] [52] [61]

'P1' [40] [51] [70]

'P2' [45] [67] [58]

'P2' [42] [70] [63]

'P2' [37] [65] [71]

'P2' [43] [71] [69]

p =

0.0000 0.0004 0.0080

table =

'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F'

'Columns' [ 3067] [ 2] [1.5335e 03] [78.3064] [1.3145e-09]

'Rows' [368.1667] [ 1] [ 368.1667] [18.8000] [3.9813e-04]

'Interaction' [250.3333] [ 2] [ 125.1667] [ 6.3915] [ 0.0080]

'Error' [352.5000] [18] [ 19.5833] [] []

'Total' [ 4038] [23] [] [] []

stats =

source: 'anova2'

sigmasq: 19.5833

colmeans: [38.7500 60 64.7500]

coln: 8

rowmeans: [50.5833 58.4167]

rown: 12

inter: 1

pval: 0.0080

df: 18

因素A、因素B以及他们的交互作用对应的检验p值均小于给定的显著性水平0.05，所以可以认为氮、磷两种肥料的施用量对水稻的产量均有显著性影响，并且他们之间的交互作用也是非常显著的。由于氮、磷两种肥料的用量对水稻的产量均有非常显著的影响，可以作进一步分析，例如进行多重分析，找出因素A、B在哪种水平的组合下水稻的平均产量最高。

（3）多重比较

下面调用multcompare函数，把anova2函数返回的结构体变量stats作为它的输入，进行多重比较。

%对列（因素A）进行多重比较

[c_A,m_A]=multcompare(stats,'estimate','column')

%对行（因素B）进行多重比较

[c_B,m_B]=multcompare(stats,'estimate','row')

Note: Your model includes an interaction term that is significant at the level

you specified. Testing main effects under these conditions is questionable.

c_A =

1.0000 2.0000 -26.8971 -21.2500 -15.6029 0.0000

1.0000 3.0000 -31.6471 -26.0000 -20.3529 0.0000

2.0000 3.0000 -10.3971 -4.7500 0.8971 0.1084

m_A =

38.7500 1.5646

60.0000 1.5646

64.7500 1.5646

Note: Your model includes an interaction term that is significant at the level

you specified. Testing main effects under these conditions is questionable.

c_B =

1.0000 2.0000 -11.6289 -7.8333 -4.0378 0.0004

m_B =

50.5833 1.2775

58.4167 1.2775

由上面结果可以看出，若单独考虑A因素，它的第1个水平与后两个水平差异显著，它的第2个水平与第3个水平差异不显著，并且当A去第3个水平（N3）时，水稻产量的均值达到最大（64.75）；如果单独考虑B因素，它的两个水平差异显著，在因素A，B的水平组合N3P2下，水稻的平均产量达到最大值，然而这确实错误的，因为A,B之间存在着非常显著的交互作用，在这种情况下对主效应进行检验可能存在问题，这时应该对因素A、B的每种水平组合进行多重比较，找出所要的水平组合。这就是下一节的内容。

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