无理数e 怎么来的?数学中最神奇的常数-无理数e的由来

学过指数函数和对数函数的很多学生可能心中都存在着一个疑问,e是什么?我们为什么要研究它?下面我们一起来探究一下它的由来以及在实际生活中的应用。

首先我们在学习指数和对数函数(exponentials and logarithms)时,书上告诉我们的答案是e是一个无理数,它近似等于2.71828……,而且这个指数函数(exponential function)具有一个很好的性质——它的导数(gradient)图像和本身是重合的,即. 这些大家都知道了,可还是一头雾水的感觉,e到底是什么,为什么会有这样一个无理数呢?

我们先来看一个有趣的小故事:从前,有个商人向财主借钱,财主的条件是每借1元,年利率100%,即一年后利息1元,商人要连本带利还2元。财主一想,利息好多呢,如果半年结一次,利率就是50%,这样一年就连本带利=2.25元,也就是半年结一次账比之前的利息还要多。财主又想,如果一年结3次,4次,5次,……365次,……那岂不是要发财啦?财主继续算了一算,如果一年结3次,利率为1/3,一年之后连本带利是=2.37037……元;如果一年结算4次,利率为1/4,一年后连本带利是=2.44140元;财主激动地想,如果一年结算1000次,本利和是,看起来这么大的数,我岂不是要发了?OK,让我们来认真算一下,=2.71692元,看来是要令财主大失所望了。财主的想法是,结算次数越多,利息增长的也越快,可他却没预料到,确实是随着n的增大而增大的,但是增加的速率却是越来越小,而且不管n有多大,本利和永远不会超过一个确定的上限,这个上限就是2.71828……。因此科学家欧拉就把(即“”)记作e,即e=2.71828……,它是自然对数的底。

无理数e 怎么来的?数学中最神奇的常数-无理数e的由来(1)

这些你都熟练掌握了吗?

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