光的折射定律证明数学方法（几何光学之单球面折射公式推导）

当两种折射率不同的透明媒质的分界面为球面的一部分时，光在其上所产生的折射现象称为单球面折射。单球面折射成像规律是了解各种透镜以及眼睛等光学系统成像的基础。

图中是两种均匀透明媒介，折射率分别为n1和n2(设n1小于n2)，它们的分界面MN为球面(又称为折射面)的一部分，其曲率中心为C,曲率半径为r，通过曲率中心C的直线OPI为折射面的主光轴，球面与主光轴的交点为折射面的顶点P。

如果入射光线OA与主光轴的夹角α比较小，且满足α≈sinα≈tanα。则此入射光线称为近轴光线，否则称为远轴光线。下面的讨论仅限于近轴光线。

考虑到自物点o发出的两条光线，一条沿主光轴进行，经折射面后不改变传播方向，另一条光线OA经折射面折射后成为折射光线,其与主光轴交于I点，I点是物点o的像。

物点o到折射面顶点p的距离OP称为物距，用于u表示，像点I到折射面顶点P的距离PI称为像距，用v表示。入射光线OA与折射光线AI应满足折射定律n1sini=n2sini2,由此得出u与v的关系。

因OA是近轴光线，则i1、i2很小，因此,sini1≈i1,sini2≈i2,折射定律可写为:

n1·i1=n2·i2

由图可知:i1=α＋θ,i2=θ-β

整理代入后可得:n1α＋n2β=(n2-n1)θ (式1)

由近轴光线可知:α、β、θ均很小，则:

将上面三个表达式一并代入式1中，并消去h后得