抛物线如何关于一点对称（趣说抛物线的对称性）

对称是客观存在的，是数学概念，是哲学观念，是思维方法。英国数学家斯图尔特在他的《自然之数》一书中写道：

"大自然似乎被对称所吸引，因为自然界中许多最显著的模式是对称的，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，从而影响我们对美的感受。"

今天，人们已经普遍接受这样一个信条：自然界所有的基本力都是由一些对称原理产生的。这就是说：对称性支配相互作用。

著名物理学家杨振宁在《对称与物理学》中说："在理解物理世界的过程中，

21世纪会目睹对称概念的新方面吗？'我的回答是："十分可能。"

抛物线是轴对称图形，展现出整体的和谐与平衡之美。解与抛物线相关的问题时，积极捕捉、创造对称关系，常能化复杂为简单。由抛物线捕捉对称信息的方式有以下几种：

（1）从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息：若抛物线上有两点（x₁，yo），

（x₂，yo），则抛物线的对称轴方程为x=(x₁ x₂)/2;

（2）从抛物线的对称轴与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息。

荣获诺贝尔奖的杨振宁是当代著名的物理学家，他对20世纪数学的发展亦有非凡的贡献。杨一米尔斯理论和杨一巴克斯特方程，先后进入当代数学发展的主流。杨振宁是当代物理学家中特别偏爱数学而且大量应用数学的少数物理学家之一。

郑板桥的竹画中是否也蕴含了平移对称呢？平移对称、旋转对称、破缺对称，有时对称会以一种非常微妙的方式出现。

艾米•诺特（1882-1935），德国数学家，她的研究领域为理论物理和抽象代数学，被爱因斯坦称为"数学史上最重要的女性"。对称的最典型应用是自然界中的晶体。对称现象背后的数学就是群论。

1918年，20世纪最伟大的女数学家艾米•诺特创立了举世闻名的"诺特定理"：

大千世界种种运动之所以产生守恒性，是因为事物内部存在着对称性，现代物理学相当多地建基于对称性的种种性质。完美的宇宙，对称是其中的关键一环。

完美的理论，常由对称表现出来。

例1．（2019秋•历下区期末）二次函数y＝ax² bx c（a≠0）的部分对应值如下表：

利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是______．

【解析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x＝1，a＜0，开口向下，与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则y＞0时，x的取值范围即可求出．

根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x＝（0 2）/2＝1，

∴顶点坐标为（1，4），所以a＞0，开口向上，

∴根据抛物线的对称性知：与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，

则当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．

变式1．（2020•仓山区校级模拟）表中所列x、y的7对值是二次函数y＝

其中判断正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【解析】：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，

∴抛物线开口向下，∴a＜0，①符合题意；

∴6＜m＜11＜k，∴6＜m＜11，②符合题意；

综上，可得判断正确的是：①②④．故选：B．

【解析】通过割补，把阴影部分面积转化为常规图形面积，既要用到平移的性质，又要用到抛物线的对称性。

例3. 当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x²﹣2x 3的函数值相等，当x＝m n时，函数y＝x²﹣2x 3的值为______．

【解析】：∵当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x²﹣2x 3＝（x﹣1）2 2的函数值相等，∴以m、n为横坐标的点关于直线x＝1对称，则(m n)/2＝1，∴m n＝2，

∵x＝m n，∴x＝2，函数y＝4﹣4 3＝3．故答案为3．

变式.当x＝m和n（m＜n）时，代数式x²﹣4x 3的值相等，并且当x分别取m﹣1、n 2、(m n)/2时，代数式x²﹣4x 3的值分别为y₁，y₂，y₃．那么y₁，y₂，y₃的大小关系为（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₁＞y₂＞y₃

C．y₁＞y₃＞y₂ D．y₂＞y₁＞y₃

【解析】：∵当x＝m和n（m＜n）时，代数式x²﹣4x 3的值相等，

即当x＝m和n（m＜n）时，函数y＝x²﹣4x 3的函数值相等，

而抛物线的对称轴为直线x＝2，∴n﹣2＝2﹣m，∴m n＝2，

∵抛物线开口向上，x＝(m n)/2＝2，∴y₃最小，

∵点（m﹣1，y₁）比点（n 2，y₂）到直线x＝2的距离小，

∴y₁＜y₂，∴y₁，y₂，y₃的大小关系为y₃＜y₁＜y₂．故选：D．

例5．已知，如图，二次函数y＝ax² 2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝√3/3x √3对称．

（1）A坐标为_____,　B坐标为_____；H坐标为_______；

（2）求二次函数解析式；

（3）在x轴上找一点P，使得|PA﹣PH|最大，求P点坐标；

（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN NM MK和的最小值．

（4）设直线AH的解析式为y＝kx b，把A和H点的坐标代入求出k＝√3，b＝3√3，

∵过点B作直线BK∥AH，∴直线BK的解析式为y＝mx n中的m＝√3，

又因为B在直线BK上，代入求出n＝﹣√3，

∴交点K的坐标是（3，2√3），则BK＝4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2√3），

∴HN MN的最小值是MB，KD＝KE＝2√3，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD＝KE＝2√3，

则QM＝MK，QE＝EK＝2√3，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN NM MK的最小值，

∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，

由勾股定理得QB＝8，∴HN NM MK的最小值为8．

例6．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a 1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）² k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：9a k=0, 4a k=5，解得a=-1, k=9，

∴y＝﹣（x﹣2）² 9＝﹣x² 4x 5．

（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．

设P（x，﹣x² 4x 5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x² 4x 5，

∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2 4x 4．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y＝﹣x² 4x 5＝3，解得x＝2±√6．

∵点P在第一象限，∴P（2 √6，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；

作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，﹣1）；

连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME PF＝PM₂最小．

方法二：（1）略．

（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，

显然当S△PMF有最大值时，四边形MEFP面积最大．

当a＝1时，E（1，0），F（2，0），

∵M（0，1），

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3，∴﹣x² 4x 5＝0，解得：x＝2±√6，

∵点P在第一象限，∴P（2 √6，3），PM、EF长度固定，

当ME PF最小时，PMEF的周长取得最小值，

二次函数的图像是一个抛物线，因此是一个轴对称图形。若两个点是关于对称轴对称的，则纵坐标相等，横坐标关于对称轴对称（对称轴是两个横坐标的中点）。若题目中告诉我们纵坐标相等，则隐含的条件是横坐标关于对称轴对称。通常这是需要求解二次函数时需要挖掘的隐含条件，往往是突破二次函数问题的题眼。

利用二次函数的对称性求最值问题是函数教学的一个难点问题，不仅要求学生掌握函数的基本要素，还要把几何图形和二次函数知识结合，综合运用图形的数形结合的能力。解题要明确知道始点在哪里，终点在哪里，这两个点所在的图形有什么特征？从而确定这条对称轴。解决这些问题关键是要掌握二次函数的对称性，明确图象上的任何一点关于对称轴对称的点也一定在此抛物线上。再利用求"最值"的几何模型（1）：求"变动的两线段之和的最小值"时，大都应用"两点之间的所有连线中，线段最短"这一模型。所以，二次函数是一件"外衣"，是一个工具。希望学生能通过这样的一个教学对这一类题型触类旁通，解一题知一片。

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