有关数学发展史的成果报告（我与数学传播的十年）

作者 | 林开亮（西北农林科技大学理学院）

8. 杨武之的九金字塔数定理

如果说 [4][5] 是在抄袭杨振宁⁵²，那么 [8] 就是在抄袭他的父亲杨武之。当时我从网上找到一本《杨武之先生纪念文集》(清华大学出版社，1998 年)⁵³，其中第一章就是杨武之本人的九金字塔定理的证明。怀着对这一结果的好奇，我邀请专攻数论与密码的研究生 同学张爱仙一起研读了这篇文章。最终我们整理出一个笔记，就是 [8]。

8.1 两个缺点

后来我们得知，杨振宁先生在 2014 年接受浙江大学蔡天新教授访谈⁵⁴时曾有这样的对话：

蔡：您的父亲杨武之先生是中国第一位数论博士（芝加哥大学），是我敬仰的前辈同行。他证明了可以将正整数表为某种类型的三次多项式之和。王元先生后来称赞，这在那个年代是很好的结果。实际上，这是华林问题 (Waring problem) 的一个变种，他证明了，每个正整数可以 ，以翔实的资料和推导预测，每个正整数可以表为至多 5 个四面体数之和，充分大的正整数可以表为至多 4 个四面体数之和。这是对您父亲的 表为至多 9 个四面体数之和。86 年过去了，最好的结果还需要 8 个四面体数。1994 年，您在《中国科学》数学卷发表过一篇论文（与邓越凡合作）一种纪念和敬意吗？

杨：这不能说是对父亲的纪念。我曾尝试读他的博士论文，但是发现一时不能读懂，因为其中有很多 lemma（引理）。我估计至少要花一两周时间才能懂，所以就放弃了。

我跟张爱仙的学习表明, 杨武之先生的论文并没有杨振宁先生所预想的那么复杂。但应该指出，[8] 作为历史文献来了解是有趣的，但所介绍的方法远不是解决四面体数猜想的恰当方法。

此外，在历史方面，我们可以引申一下杨振宁先生的一句评论。在 [23] 一文中，张奠宙与杨振宁有下述对话：

张 ：最后我想问一个关于您父亲杨武之先生的问题。我最近在写《中美数学交往 (1850–1950)》一文，觉得美国数学界在代数方面是经杨武之对中国产生影响的。他受迪克森 (Dickson) 的指导在芝加哥大学取得博士学位，论文题目是“华林问题的各种推广”。华罗庚早期论文也是 关于华林问题，我猜想二者间必有联系，但却未见国内文字报导，您可否谈谈您的看法。

杨：华先生最早的论文确是受我父亲的影响而写的。……

我们本可以借此机会，在介绍杨武之的九金字塔数定理之后，再进一步介绍一下他博士论文的主要结果以及他对华罗庚的影响。这是后见之明了，不过这课题确实值得研究，记得有一次杨振宁先生特地发邮件询问华罗庚早期发表的数论工作都有哪些 (他说记得早年看到华罗庚的一篇数论文章引用了杨武之的工作)。

8.2 后续工作

大连交通大学的莫利同学曾向我指出，真正的 (埃及) 金字塔所对应的数，并不是杨武之所考虑的形如

的数，⁵⁵而是形如

的数。这促使我跟郑豪合作，用计算机测试了种种形状数的堆垒，最终引出了论文 [22]。这篇文章是我的第二篇数学史的文章。不同于第一篇 [9], [22] 不仅有历史，也提出了新的猜想。这方面主要归功于我的合作者郑豪（当时是北京交通大学的博士生，现任教于北京物资学院）的努力。功夫不负有心人，2017 年初，我们很高兴地从 《数学文化》 主编汤涛教授、编委张英伯教授那里得知，论文 [22] 得到了王元院士的认可。

，而当时我也有考虑投给《数学传播》其实 [22] 更适合《数学传播》，只是我们想尽快发表 (该文的副标题是“纪念杨武之教授诞辰 120 周年”，在 2016 年见刊才有意义)，所以优先投给《数学文化》。这篇稿子得到《数学文化》两位编委——山东大学刘建亚教授和浙江大学蔡天新教授的联合推荐，因此很快就发表了。文中插入了许多数学家的照片，美编又擅长排版，所以这篇文章图文并茂，看起来还蛮有趣味。不过略微令我有点失望的是，这篇文章的标题没有列在当期纸质版的封面上。

我们后来趁热打铁，又提出了一些新的猜想，包括 Pollock 四面体数猜想的下述加强⁵⁶：

猜想 5 对任意的正整数 ，Diophantus 方程

都有正整数解 。

我们 (2018 年 10 月 27 日) 测得的一个最好的猜想受到华罗庚 1940 年的工作⁵⁷的启发，如下：

猜想 6设 为正整数，令

则对每一个， 都是非负整数，而且存在一个正整数，使得每个正整数都可以写成中个数的和；并且的最小值等于。

猜想 5 可与 小欧拉 (Johann Euler) 关于 华林问题 的猜想 (1772 年提出，至今仍未完全解决) 媲 美：

猜想 7(小欧拉猜想) 对每一个给定的正整数K，存在一个正整数 ，使得每个正整数都可以写成 个K次方数的 和；并且 的最小值等于 ，其中 表示不超过的最大整数。

[22] 的一个修订版将作为附录收入 Dickson 的《数论史》第二卷 (History of The Theory of Numbers. Vol. II: Diophantine Analysis) 中译本，将由哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室出版。

9. 华罗庚关于矩阵标准型工作的介绍

[9] 是一篇长文，一共 31 页，也许是 《数学传播》 自 1976 年创刊以来刊出的最长的单篇文章。这是我的第一篇数学史文章，详细介绍华罗庚先生在矩阵标准型理论方面的工作。回顾起来，我觉得略 有欠缺的，是没有介绍华罗庚关于非负矩阵理论应用于经济优化平衡的工作。很遗憾，到目前为止，我还没抓住他在这方面的主要贡献。这里只给出四个文献⁵⁸，⁵⁹，⁶⁰，⁶¹供有兴趣的读者参考。

在数学史方面，我宗 Thomas Hawkins 为师。他的著述饱含着对数学家原始论文的分析梳理，处处可见扎扎实实的数学，比如⁶²，⁶³。

10. 微积分之前奏（或变奏）：高阶等差数列的求和

[10] 源于 2016 年我应邀参加 《知识就是力量》 杂志社主办的“全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”之数学主讲，在石家庄、郑州、西安、青岛、济南五个城市巡回。事先我并没想好要讲什么主题，毕竟大学数学跟中 学数学有个跳跃。后来我从 丁玖 教授的一本书《亲历美国教育：三十年的体验与思考》(商务印书馆，2016 年) 中的一段话得到启发，决定发挥一下华罗庚先生的小册子《从杨辉三角谈起》(《数学小丛书》第 1 号，科学出版社，2002 年)。于是就有了后来的报告，见 从高斯算1 2 3 … 100 谈起 。我自己感觉，这个报告给中学生讲还算比较成功的。但不知为什么，再往后两年的活动， 主办方却再没有请我主讲了。如此基本的内容完全可以列入高中数学。

这个报告的修订版（补充了微积分相关的内容）我先后在西北农林科技大学 (2017 年)、天津理工大学 (2017 年，蔡宏睿教授邀请)、北京工业大学 (2018 年，刘继涛教授邀请) 讲过，当然也在我的离散数学⁶⁴课堂上讲过，反响似乎还可以。基于我给大一新生讲授微积分的经 历，我想，针对部分专业（如文科）的学生，只讲授这种版本的微积分，效果会不会更好？毕竟当前的普通微积分对部分学生来说还是有很大难度。

[10] 的简体缩写版⁶⁵曾转载于微信公众号“好玩的数学”，读者的反响也不错。另一个缩写版发表于《高等数学研究》，据 中国知网 统计，两年内其下载量多达 200，见⁶⁶。

11. 十篇文章小结

我在《数学传播》上发表的这十篇文章，三篇 ([1][9][10]) 与 华罗庚 有关，两篇 ([4][5]) 与 杨振宁 有 关，一篇 ([8]) 与杨武之有关，一篇 ([3]) 与 Dirac 有关，一篇 ([7]) 与 Halmos 有关，一篇 ([2]) 是在 (首都师 范大学) 数学系图书馆浏览期刊偶然所获，一篇 ([6]) 是因为翻译而起。

回顾起来，我觉得对我影响比较大的，除了《数学传播》和《数学译林》这两份期刊，主要是数学家的传记与文集，如 E. T. Bell 的 《数学精英》[24]，王元的《华罗庚》[12]，王元与杨德庄主编的《华罗庚的数学生涯》[13]，张奠宙的《20 世纪数学经纬》[25]、主编的《杨振宁文集》[26]，张奠宙、王善平主编的《陈省身文集》 [27]、合着的《陈省身传》[28]，张洪光主编的《陈省身文选》[29]，江才健的《规范与对称之美——杨振宁传》[30]，Halmos 的《我要作数学家》[31]。我在本科时接触到这些书，它们对我的影响慢慢发酵，到研究生期间才显现出来。⁶⁷顺便提一句，我还与 季理真 教授合作，为杨振宁先生编辑了一本通俗文集《杨振宁的科学世界：数学与物理的交融》[33]。

12. 荐稿、撤稿、退稿与转稿

12.1 荐稿

除了我本人为《数学传播》供稿以外, 我还建议我的同学和师弟师妹给《数学传播》投稿。感谢《数学传播》对我们的鼓励支持⁶⁸，这些稿件后来都刊登了，分别是 [33] 与 [34]。[33] 的想法后来被我和本科时代的同学刘新亮 (现任教于天津耀华中学) 进一步阐发，见 [35]。[34] 的简体版⁶⁹后来在微信公众号“好玩的数学”上转载。

12.2 撤稿与退稿

实际上，我给《数学传播》的投稿并不止 [1]–[10]，另有一些被我撤稿或被《数学传播》退稿。我也想讲一讲这些文章，因为它们也从侧面反映出《数学传播》各位审稿专家对我的鼓励与指导。

先说撤稿的两篇文章，标题分别是“华罗庚的代数工作介绍”与“Cartan–Tkachev 定理的简单证明”。前者之所以撤稿，主要是我觉得自己的水平还不够，当时审稿老师给我回馈了长达 6 页的审稿意见，我想我以后会完成一篇满意的稿子重新投稿 (否则对不住这位用心良苦的老 师)。而后者之所以撤稿，是因为审稿老师建议完善以后用英文投稿给 American Mathematical Monthly，我觉得值得一试。

”与“高斯的《数学日记》及其影响：算术部分” 被退稿的文章也有两篇，标题分别是“介绍 Mariana Cook 的相册《数学家》 。后者之所以被退稿，是因为审稿老师认为最好能够结合原始的德文日记来分析，对此我也是很认同的。而前者之所以被退稿，是因为审稿老师认为我的翻译欠妥；他指出了一两个明显的翻译错误，为此我还是很感激他。后来这篇稿子发表在《数学文化》，见 [36]，介绍的是我们翻译的一本数学家相册，Mariana Cook 的 Mathematicians: An Outer View of the Inner World, 后来在华东师范大学张奠宙、王善平两位老师的推荐下出版了，即 [37]。

Cook 的这本数学家相册是我想翻译的第一本书。为做好宣传，我特地请了北京大学张恭庆院士、中科院林群院士写了推荐语，请季理真教授写了中译本序言 数学家：他们的心思与长相，还请中科院严加安院士题了字，见图 4。

图 4:2013 年严加安院士为《当代大数学家画传》题字：“镜头捕风采，笔端抒情怀”

后来我在微信公众号“好玩的数学”、“数学纵贯线”上先后转载了其中的多个篇目。例如，你可以读到 Bryan J.Birch， 张圣容 ，Mikhael L. Gromov，John F. Nash，Barry Mazur，Henri Cartan ，Phillip Griffiths，Frances Kirwan，Maryam Mirzakhani，John W. Milnor 和 Margaret D. McDuff ，Robert D. MacPherson， 丘成桐 ，Benoit Mandelbrot，Robert P. Langlands，Manjul Bhargava，William P. Thurston，William T. Gowers，Charles Fefferman ，Robert Fefferman，Edward Nelson， 萧荫堂 ，Peter D. Lax， 田刚 ，David Mumford，Alain Connes，Cathleen S. Morawetz， 陶哲轩 ，John H. Conway，David H. Blackwell，William Browder，Elias M. Stein，Karen Uhlenbeck，Michael Atiyah, Felix E. Browder 和 Harold W. Kuhn。这里有一个 连载合集 。

12.3 转稿

2017 年 3 月 8 日，我开通了微信公众号“数学纵贯线”，后又协助打理“数学爱好者俱乐部”和“好玩的数学”。我在这三个公众号上转载了《数学传播》上的多篇文章，清单如下：

有朋自远方来——专访 Uhlenbeck 教授.

丘成桐， 时空几何与广义相对论中的质量.

庄志达、梁耀强撰文，吕素龄译，Serre 访问记.

张奠宙， 杨振宁和当代数学.

有朋自远方来——专访 Cédric Villani 教授.

数学教育——W. Thurston 谈美国数学教育. [我们推送的是吴帆发表在《数学通报》上的 译稿 ]

K-12 数学教育的危机——伍鸿熙谈美国中小学数学教育.

有朋自远方来——专访姜伯驹教授.

陈木法的自学之旅.

莫宗坚， 少年游——我的大学时代.

颜一清，Emmy Noether 的一生 (1882.3.23–1935.4.14).

有朋自远方来——专访项武义教授.

有朋自远方来——专访 Peter Lax 教授.

蔡聪明， 莱布尼兹如何想出微积分.⁷⁰

陈省身， 什么是几何学.[我们推送的是收录于《陈省身文集》[27] 的版本]

陈省身， 学算四十年.

陈省身、康润芳， 记几位中国的女数学家.

最后一篇文章是台湾大学数学系的“六朵金花”——张圣容、李文卿、金芳蓉、吴征眉、腾楚莲、萧美琪——的传记，我后来与其中的 张圣容 、 金芳蓉 ⁷¹联系过，并且向微信公众号“赛先生”推荐过一篇关于张圣容的访谈 数海英雌的孤单与坚强——对 话台湾女数学家张圣容 。金芳蓉老师还向我回馈了她的一篇 Notices 文章 之中译文 《信息时代的图论》。

13. 我与两位老师

通过《数学传播》牵线，我先后通过邮件联系到中央研究院数学研究所的李国伟老师和国立交通大学应用数学系的吴培元老师，后来有机会与他们见面交流，得到他们的熏陶教化。古人云“以文会友”，与千里之外的两位老师相识相知，实在是人生中的美妙际遇。下面分别介绍。

13.1 我与李国伟老师

我与 李国伟 老师联系，是通过《数学传播》的陈丽伍编辑。当时我在投稿“介绍 Mariana Cook 的相册《数学家》”以及另一篇文章 (即 [38] 的初稿)。陈编辑回 复我下述邮件 (为方便读者，已转为简体)：

林先生, 您好：

《数学传播》这边就无法接受你的投稿。或者，如果上海世纪出版社那边愿意出具证明，同意《数学传播》刊载您所投稿的翻译稿件，这样会关于版权的部分，要麻烦你协助帮忙了解上海世纪出版社那边与 Cook 女士签的是否是包含繁体字翻译的专有所有权 (exclusive right)，如果是的话， 对事情的进展有很大的帮助。也请你在沟通的时候，注明《数学传播》季刊是一份非营利性的期刊，主要是服务对数学有兴趣的社会大众。

另外，有关你的另外一篇有关科学家的翻译，可以考虑投稿到台湾 《科学人》(http://sa.ylib.com/) 这份杂志，也许他们会有兴趣。中研院数学所的 李国伟 老师有固定帮这个杂志写专栏。

中研院数学所数学传播编辑部

助理 陈丽伍 敬上

后来我联系上李国伟老师。他帮我将另一篇文章 [38] 推荐到 《科学月刊》(http://scimonth.blogspot.com/2013/11/blog-post_1476.html) 。

2017 年 8 月，我与李国伟老师在成都召开的“第四届近现代数学史与数学教育国际会议”⁷²相遇，并合影留念，见图 5。

图 5:2017 年与李国伟老师在四川师范大学留影

更富有戏剧性的是，2018 年我跟我的合作者在讨论一个问题时，遇到一个比较棘手的难题。当时我们感觉文献上有结果了，但一直苦于查不到论文。某一天我从微信朋友圈看到好友龙旸靖 (当时是上海交通大学的博士后) 发布的台湾学术访问的消息，其中提到与李国伟老师相遇，并得到一 本赠书。我就立即发邮件咨询李国伟老师那个问题，结果惊喜地收到李国伟老师的下述回复：

开亮：

我也很高兴认识你的朋友龙旸靖。

你的文章是篇好文章，我知道你运用线性代数的技术很令人佩服。我马上联想起以前我们中研院统计所赵晨庆与梁文骐合写的一篇论文，请看附件。梁文骐是梁实秋的儿子，本来在大陆生活工作，后来才转到台湾，但是现在已经过世。

国伟

2018/3/30

梁文骐、赵晨庆两位教授 1992 年的文章⁷³恰好提供了我们 (2018 年) 所孜孜以求而求之不得的结果！简直是无巧不成书！后来我还与赵晨庆教授联系交流，他也颇感意外，并且告诉他当初正是李国伟教授建议他们投稿到 European Journal of Combinatorics。这篇稿子⁷⁴我们还在润色，等完稿也投给《数学传播》。

13.2 我与吴培元老师

我第一次见到 吴培元 老师的名字，是通过《数学传播》回馈的关于 [7] 的审稿意见，其中有一条：

第 4 页的定理及其他相关的结果, 已出现在论文: J.‐H. Wang and P. Y. Wu, Difference and similarity models of two idempotent operators, Linear Algebra Appl., 208/209 (1994), 257‐282, Theorem 1.3.

这里的 P. Y. Wu 即吴培元教授⁷⁵。此处所提到的第 4 页的定理即 [7, p.69] 定理 6。我之所以得出这个定理非常偶然，当时是在读一本泛函分析教材⁷⁶时意外凑出来的。

后来，我跟吴培元老师也通过邮件取得联系。值得一提的是，我们后来彼此推荐了一篇文章发表。当我写好 [21] 的初稿时，我发给了吴培元老师请他提意见。结果他给我回馈了一篇他从前为学生写的 Halmos 的自传 I Want to Be a Mathematician 的导读。我很喜欢，就推荐给《数学文 化》，后来刊登了，见⁷⁷。

吴培元老师后来又将我写的关于 Freeman Dyson 的传记 [39] 推荐给 《数理人文》。⁷⁸后来也发表了，见 [40]。[40] 的中文简体版后来又发表在“数理人文”， 戴森传奇（上）， 戴森传 奇（下）。

2016 年，我与吴培元老师在上海大学举办的“矩阵不等式及矩阵方程国际会议”相遇并留影，见图 6。

图 6:2016 年与吴培元老师在上海大学留影 (右一是同事刘帅)

14. 回顾与展望

很难想象，如果十年前我没有给《数学传播》投稿， 我将会是在哪里 。

在某种意义上，是《数学传播》开启了我的学术生涯。回顾起来，我非常感激《数学传播》的各位编辑老师、审稿专家，是你们不厌其烦地鼓励着我，不遗余力地提携着我，让我渐渐成熟，让我慢慢学会写作与表达，让我领略到与人分享交流数学的乐趣，更重要的，让我有了研习数学的信 心和决心。

从 2009 到 2014 上半年这四年半，我在首都师范大学念研究生，当我 2013 年底博士毕业马上面临找工作时，我手头只有很少几篇文章：[1]-[6],[15],[39]。其中只有 [15] 是研究论文，也就是说在一般的高校招聘单位看来，我只有一篇论文。可以想见，找工作对我来说是一件极困难的事情。不 过，很幸运的是，我在《数学传播》上发表的文章 [1]-[6] 以及关于 Freeman Dyson 的传记 [39] 还是得到了关注，华东师范大学数学系的张奠宙教授 (很久以后我才通过他的助手王善平老师知道，张老师其实一直关注着我) 和西北大学数学系的曲安京教授（通过同学吴帆引荐）都表示了对 ，而华东师范大学的张奠宙教授则一直努力将我调往上海。说到这里，一方面我要感谢这些老师对我的关注，更要感谢《数学传播》提供了很好的平台，让大家能看到我的工作和潜力。我在数学传播这方面工作的兴趣。我很顺利地通过了西北大学数学系的面试（后来换到西北农林科技大学）

我还想说，《数学传播》给作者的稿酬也蛮丰厚，这恐怕是大陆的传播普及类刊物难以企及的。当我收到从《数学传播》寄来的第一篇文章 [1] 的样刊与稿酬汇款单时，我的心情是无比激动喜悦的。

作为《数学传播》的忠实读者和撰稿人，我衷心祝愿《数学传播》越办越好！以后我会一如既往地给《数学传播》奉献我的作品，也请各位审稿专家坚持高标准，继续批评指正！

正如李宗盛在 山丘 里所唱的：想说却还没说的，还很多。最后我只说一句：我期待，有朝一日能访问 台湾中央研究院数学研究所 ，见见各位编辑老师，跟诸位前辈当面说一声谢谢！

15. 附录：推介台湾中央研究院数学研究所的普及刊物《数学传播》

2015 年，我曾经在善科网 (后崩溃，现在重生为 数立方 ) 发表过一遍推介《数学传播》的文章，附在此处，仅供不太了解《数学传播》的读者参考。

优秀的中文数学普及刊物并不多见，能够与 《数学文化》 一比高下的，北京中科院数学所的 《数学译林》 从前还 可以算一个，但如今恐怕就只有台湾中央研究院数学所的《数学传播》了。

与《数学文化》一样，《数学传播》也有 电子版 。《数学文化》电子版只提供了部分免费阅读，而《数学传播》电子版则是完全对外开放。

《数学传播》由中央研究院数学所 黄武雄 、 刘丰哲 两位教授发起，与其他当时在中研院数学所任职的教授共同创办，目的为传播数学知识及推广数学教育，是一份适合大众阅读的科普刊物，重要面向中学生、大学生、中学教师中的数学爱好者。跟《数学文化》一样，《数学传播》也是季刊，自 1976 年 5 月创刊，至今已有 47 年，出版到 184 期。⁷⁹

我第一次了解到这个刊物是看到《陈省身文选》中的某些文章（如《学算四十年》，在台湾的另一个网页⁸⁰上有 电子版 ）和张奠宙教授对杨振宁的一个访谈 ，料想这个刊物应该不错。后来偶然从南开陈省身数学所看到这个刊物，拿来一读，果然有趣。现在我知道，陈省身与《数学传播》有关 （ 杨振宁和当代数学 ）曾发表在《数学传播》 系并非偶然，因为 陈省身曾出任中央研究院数学所的代理所长 ！

《数学传播》分好几个版块，在索引分类中可以看到。我最喜欢的是 “专访”(可以通过搜索“有朋自远方来”得到 全部专访 )，我认为这也是最精彩最有价值的栏目。编辑有心，给这个栏目取了一个典雅的系列名字“有朋自远方来——专访某某教授”，尽显地主之谊，很是贴切。台湾是个孤岛，能来此一游的都算“远道而来”了，主人自然是“不亦乐乎”。在这个栏目中，你可以发现许多杰出的数学家，如 Gerd Faltings，Stephen Smale，Mori Shigefumi，Peter Lax，Srinivasa S. R. Varadhan，Karen Uhlenbeck，Clifford Taubes 等。

这些访谈物件都亲到过台湾中研院。当然，跟《数学译林》一样，《数学传播》上也有一些翻译过来的访谈，例如这里是 Serre 的访谈 。

如果只让我推荐一篇访谈，我会毫不犹豫选择 姚鸿泽的访谈 ，这个访谈最近也重印于丘成桐主编的 “数学与人 文” 丛书 (第 15 辑，《与数学大师面对面》)。在回顾他的大学生涯时， 姚鸿泽 教授说道：

数学系的学生证明了四年，就像少林寺的和尚在挑水一样。四年一直都在挑水，却没有让他看些其它的东西，很容易就读不下去了。

这个比喻很是贴切， 莫宗坚 在 《少年游——我的大学时代》 一文中也这么说：

经过了一、二年的苦读，我才发现女同学们脸若春花，眸若点漆。有些小和尚，经也不念，钟也不打：“不拜佛祖，只拜观音。”

诸位还在挑水敲钟、打坐念经拜佛祖的小和尚们，这里有一份《数学传播》，各路神僧开坛论道，闲时若不拜观音，不妨一阅。

末了，应该打个预防针，台湾仍使用繁体字，所以《数学传播》仍沿用繁体字排版。这也许会给大陆读者带来不便，但我相信这不是大问题。⁸¹想必中国传统文化在台湾得到了更多的传承，这从中央研究院数学研究所的 刘太平 教授 访谈孙理察 （Richard Schoen）时 说的一段话可见一斑 (分析与小说之间的通感，我头一次听说，耳目为之一新)：

刘太平 ：……我总是把数论、甚至几何的一部分或代数，来和分析做比较，就像比较中国文学中的诗与小说。小说与诗非常不同。中国的诗在唐代和宋代有过非常光辉的过去。那个时代，中国社会对诗人多有推崇。就小说而言，中国远不及日本，更别提欧洲。小说比较复杂，需要 有人生的体验等等。写小说需要在生活中历练，作诗就有些不同。

致谢

感谢中科院数学所的王元院士、严加安院士、中央研究院数学研究所的李国伟教授、国立交通大学的吴培元教授、首都师范大学的李克正教授以及内蒙古大学的颜昭雯教授慨允作者使用相应的照片。

以下师友对初稿提出了许多有益的评论和建议，特表感谢：香港城市大学的陈关荣教授，台湾国立交通大学的吴培元教授，上海交通大学的吴耀琨教授、来米加教授，天津大学的戴伍圣教授，南开大学的朱富海教授，南开大学陈省身数学所的唐梓洲教授，美国加州大学尔湾分校的陆志勤教 授，加州伯克利劳伦斯国家实验室的邵美悦博士，重庆大学的邵红亮教授，北京物资学院的郑豪教授，中国矿业大学的张汉雄教授，复旦大学的谢启鸿教授，北京市朝阳区教育研究中心的张浩博士，北京景山学校朝阳学校的赵洁博士，从事数学教育的自由职业者张宝群博士，江西省吉安市 吉水县阜田中学的孙志跃老师，北京中杉学校的李萌老师，南京江宁高等职业技术学校的马威威老师，首都师范大学的刘洁女士，中科科猫（北京）科技有限公司的潘颖女士，波士顿国际出版社的邓宇善编辑，数学爱好者张恩典。

注解：

52 这两篇文章后来我都给杨先生看过，他对 [5] 尤其感到惊讶——他未想到他的问题可以用 Grassmann 代数表述得如此简洁自然。

53 很久以后我才了解到，这本书主要归功于陕西师范大学数学院的数学史专家张友余教授。她向陈省身先生提议在 1996 年杨武之 (1896–1973) 诞辰 100 周年之际搞一个纪念活动。陈省身先生委托北大退休教授段学复组织了这一活动。

54 蔡天新，“我的一生可以算做一个圆”——西子湖畔访杨振宁 , 《数学文化》2014 年第 3 期。

55 这类数称作 四面体数 (tetrahedral numbers) 更合适，见蔡天新的上述访谈。

56 Pollock 原始的四面体数猜想（他一共提出十来个猜想，见 [22, pp.71-72]）是:

猜想 4对任意的正整数 ，Diophantus 方程

都有正整数解x,x,x,x,x₅。

57 L. K. Hua On a generalized Waring problem. II. J. Chinese Math. Soc. 2(1940), 175—191. 有中译文， 关于一个推广的华林问题 II，收入《华罗庚文集：数论卷 III》，王元、潘承彪、贾朝华编译，科学出版社，2010 年。感谢日本岩手大学数学系川田浩一（Koichi Kawada）教授提点我们注意到这篇文章。

58 Loo-Keng Hua, On the mathematical theory of globally optimal planned economic systems, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 81 (20), 6549–6553. 此前相关的中文文章收入 《华罗庚文集: 应用数学卷 II》，杨德庄主编，北京：科学出版社，2010。

59 华罗庚、华苏， 具有左右二正特征向量的实方阵的研究 ，《数学通报》，1985 年第 8 期。

60 钟开莱 ( K. L. Chung ), “Markov chain must have a beginning”，In Memory of Prof. Loo-Keng Hua, 《数学研究与评论》，1986 年第 1 期。[上海交通大学的吴耀琨教授告知，他们一直想将这一结果推广到多变量情形。]

61 陈木法， 数学的进步 ，《数学传播》，第 37 卷第 2 期 (2013 年)，15–25.

62 Thomas Hawkins，Emergence of the Theory of Lie Groups. An Essay in the history of Mathematics 1869–1926 (Sources and studies in the history of mathematics and physical series). Springer Verlag, New York, 2000.

63 Thomas Hawkins，The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics，Springer-Verlag，New York，2013.

64 Ronald Graham,D. E. Knuth,Oren Patashnik 合写的离散数学教材 Concrete Mathematics（有中译本， ，张明尧、 张凡译，人民邮电出版社，2013 年。）第二章就讲离散微积分。

65 林开亮， 微积分之前奏 1：高阶等差数列的求和 .

66 林开亮， 从微积分的观点看高阶等差数列的求和 ，《高等数学研究》2017 年第 1 期，34–37.

67 我很幸运，曾有机会见到其中几位作者、译者乃至传主本人，而且几位前辈都对我非常提携鼓励，尤其是杨振宁先生和最近过世的张奠宙教授 (1933–2018)。我曾在 我为 什么要写作 一文中提及，对我走上数学科普写作的道路，张奠宙先生的影响最大。

68 要特别感谢刘立宽 (很遗憾，我现在都不知道他的身份) 为 [34] 绘了一张漂亮的插图。

69 Nathan Carter and Dan Kalman 着，雷艳萍译, 哈利·波特与圆上的有理点 .

70 自 2014 年走上讲台以来，我一共教过三次微积分（高等数学公共课），其中有两次（2016 级，2017 级）都专门用了两节课来讲 蔡聪明 老师的这篇文 章，之所以第一次（2014 级）我没有讲，是因为当时我还没有注意到蔡老师的这篇大作。

71 我从网上了解到，有一部以她们为主人公的纪录片 学数学的女孩们 , 可惜一直没机会看到。还有一部 徐道宁——数学女斗士 也想了解一下。大陆很少拍这种类型的影片。

72 我在这个会议上做了关于华罗庚生平与工作的英文报告，得到与会专家的关注。报告中我有个人名 (Shih-Hsiung Tung) 不能确定其中文，就咨询李国伟老师此人是否可能是台湾人。李老师后来专门查阅数据核实 (表明他确实是，李老师提供的此 纪念网页 表明他本科毕业于台湾师范大学)，并建议我直接给他从前的单位写信咨询。

73 Chern-Ching Chao, Wen-Qi Liang, Arranging distinct numbers on a line or a circle to reach extreme total variations, European J. Combin., 13(1992), 325–334.

74 林开亮、刘帅、邵美悦、王兢、肖宇庭，【标题待定】

75 另一名作者 Jin-Hsien Wang 是台湾海军军官学校的王进贤教授。

76 张恭庆、郭懋正，《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，2001 年。见该书 p.132 引理 6.5.19.

77 吴培元，I Want to Be a Mathematician，《数学文化》, 7 (2016), 113–115.

78 在此一年前，香港城市大学的 陈关荣 教授也在网上发现了这篇文章，并帮我推荐给《数学文化》，后来也发表，见 戴森传奇 。因为这篇文章，我结识了不少朋友，收到一些温暖的邮件。现在我视之为自我介绍的首选 名片 。

79 这是 2015 年的文章，现今已有 47 年，出版到 184 期。

80 数学知识 ，我第一次了解到这个网站，还是由本科同学辛赫告知的。

81蒙好友孙志跃告知，对于 HTML 版，可用 Google Chrome 的翻译功能，在此环境下，繁体字可自动调整为简体。

参考文献

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[19] 伍鸿熙，《数学家讲解小学数学》, 赵洁、林开亮翻译, 北京大学出版社，2016 年。

[20] 林开亮， 推荐《线性代数应该这样学》，《数学文化》，2017 年第 3 期，115-118.

[21] 林开亮，哈尔莫斯：我的怀念，将收入丘成桐主编的“数学与人文”丛书某一辑《数学飞鸟》。

[22] 林开亮、郑豪， 从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想 ，《数学文化》第 7 卷（2016 年）第 2 期，61–83.

[23] 张奠宙，杨振宁教授谈中国现代科学史研究，《科学》1991 年第 2 期，也收入张奠宙主编的《杨振宁文集》。这里有 微信网页版 。

[24] E·T·贝尔，《数学精英》，徐源译，商务印书馆，1994 年。后重印更名为《数学大师》，上海科技教育出版社，2004 年。台湾译本，《大数学家》，井竹君等译, 台北: 九章出版社, 1998.

[25] 张奠宙，《20 世纪数学经纬》，华东师范大学出版社，2002 年。

[26] 张奠宙主编，《杨振宁文集：传记，演讲，随笔》，华东师范大学出版社，1998 年。

[27] 张奠宙、王善平主编， ，华东师范大学出版社，2002 年。《陈省身文集》

[28] 张奠宙、王善平，《陈省身传》，南开大学出版社，2004 年。

[29] 陈省身，《陈省身文选：传记通俗演讲及其它》，科学出版社，1989 年。

[30] 江才健，《规范与对称之美——杨振宁传》，天下文化，2002 年。

[31] 保罗·哈尔莫斯，《我要作数学家》，马元德、沈永欢、胡作玄、赵慧琪译，江西教育出版社，1999 年。

[32] 季理真、林开亮主编，《杨振宁的科学世界：数学与物理的交融》，高等教育出版社，2018 年。

[33] 张云峰， 一道作为北京大学硕士研究生招生考试考题的高中数学题 ，《数学传播》，第 36 卷第 3 期 (2012 年), 77–80.

[34] Nathan Carter and Dan Kalman 着，雷艳萍译，Harvey Plotter 与圆上的有理点 ，《数学传播》，第 37 卷第 2 期 (2013 年)，49–55.

[35] 林开亮、刘新亮， 向量将几何代数化举例 ，《数学通报》，第 58 卷第 1 期 (2019 年)，44–47.

[36] 林开亮，《数学家》的相册（附译后记），《数学文化》第 4 卷第 4 期（2013 年），87–99.

[37] 玛丽安娜·库克，《当代大数学家画传》，林开亮等译，上海世纪出版集团，2015 年。

[38] 林开亮，二十世纪科学家群像——《科学的面孔》，《科学月刊》第 44 卷第 527 期（2013 年 11 月号），867–870.

[39] 林开亮， 弗里曼·戴森：科学家与作家的一生 ，《科学文化评论》，第 10 卷第 3 期（2013 年），82–101.

[40] 林开亮， 戴森传奇——从数论、QED 到科普写作大师 ，《数理人文》第 9 期（2016 年），61–79.

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