初一数学下册必读课外书(中学生课外读物数的产生与发展)

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初一数学下册必读课外书(中学生课外读物数的产生与发展)

初一数学下册必读课外书

中学生课外读物《数的产生与发展》(实数内有关问题)

1.数列

自从有了数,人们很早就注意到排列在一起的数,很有研究价值。

比如:

正整数列:1,2,3,4,5,6,…相邻两项后项总比前项大1。

正偶数数列:2,4,6,8,10,…相邻两项后项总比前项大2。

翻倍数列:1,2,4,8,16,32,64,128,…相邻两项后项总是前项2倍。

复利收益数列:设存a元,每期利率为p,则第一期,第二期,第三期,及以后各期收益可排成:a(1+p),a(1+p)^2,a(1+p)^3,a(1+p)^4,…,a(1+p)^n,…

素数从小到大排列:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…

像这样的一组数排成的整体,都有特点和含义。

为了研究它们,人们抽象出一般数列概念:将按照一定顺序排成的一列数a1,a2,a3,a4,…,an,…叫做数列,简记为{an},其中an叫它的第n项。其中an与n之间的关系式an=f(n)叫这个数列的通项公式,称sn=a1+a2+a3+…+an为这个数列的前n项和。

最简单的数列就是常数数列{d}:d,d,d,d,…,d,…其每一项都是同一个数d。其通项公式为an=d,前n项和为sn=nd。

前述的数列也很简单。如

正偶数数列:2,4,6,8,10,…相邻两项后项总比前项大2。

翻倍数列:1,2,4,8,16,32,64,128,…相邻两项后项总是前项2倍。

将它们一般化可得:

若数列{an}中,从第二项起每一项比前一项都大一个常数d,则称这个数列为等差数列,d为公差。

显然d=0时为常数数列。d>0时为递增数列(项数n增大,项值an随之增大)。d<0时为递减数列(项数n增大,项值an随之减小)。

可推出等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d,

前n项和公式为sn=n(a1)+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2。

如1+2+3+4 …+n=n(n+1)/2,

1+2+3+…+100=100×(100+1)/2=5050。

若数列{an}中,从第二项起每一项与前一项之比为常数q,则称这个数列为等比数列,q为公比。

显然:等比数列中an≠0,q≠0。当q=1时为常数数列。当a1>0,q>1时为递增数列,a1>0,0<q<1时为递减数列,a1>0,q<0时为摆动数列(随项数n增大,项值an忽大忽小),等。

可推出等比数列的通项公式为an=(a1)q^(n-1),

前n项和公式为:q≠1时sn=(a1)(1-q^n)/(1-q),q=1时sn=n(a1)。

如:1+2+4+8+…+2^(n-1)=1×(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。

如:{3^n+2n}的前100项和为3(3^100-1)/2+10100。

其它典型数列如:

{n^2}:1,4,9,16,25,36,49,…,n^2,…

可求得其前n项和为sn=n(n+1)(2n+1)/6。

{1/(n(n+1))}:1/(1×2),1/(2×3),1/(3×4),1/(4×5),…,1/(n×(n+1)),…

由于其通项an=1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1),然后求和可互相抵消得其前n项和为sn=1-1/(n+1)=n/(n+1)。

循环数列如:-1,0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1,0,1,…,-1,0,1,…

其前3n项和为0,其前3n-1项及前3n-2项和都为-1。

研究数列,是为了寻找数之间的规律,寻找求和方法。

2.求三角运算

由前知,和数,差数,积,商,指数幂,对数都是由实数系统内的运算而推出来的数。

三角函数是个例外,它不是来自实数系统内的运算而得来的,而是在解决几何旋转问题中引出来的,有了它们,可以很方便地解决几何中的边角间关系问题。

下面加以专门介绍。

空间物体运动,可分解为平行移动和旋转。而旋转与角度有关。

角度如何度量大小呢?

先寻找度量单位。

早人们将一周角平分数360等份,每一等份为1度的角。将1度的角60等份,每一等份为1分的角。将1分的角60等份,每一等份为1秒的角。然后用度分秒为单位去度量角的大小,得到的度量角的制度叫度分秒制。

但这个度量制度,随着数学的深入发展被丢弃了。

后来人们用孤度制代替了度分秒制。

弧度制的单位是1弧度的角,规定其大小是长等于半径的圆弧所对的圆心角。记为1rad。

可知:

π弧度=180度。1rad≈57.3度。1度=π/180弧度。

有了度量单位后,我们规定逆时针旋转的角为正角,其弧度数为正数,顺时针旋转的角为负角,其弧度数为负数,零角弧度数为0。

这样一来,一个任意角的弧度数就是一个实数,一个实数为弧度数的角也唯一确定。即建立了一个任意角与实数的一一对应。

有了任意角及大小,就可以定义三角函数值了。

将一个角放在平面直角坐标系中,使其始边与ox轴重合,然后在终边上取不与顶点重合的一点P,其坐标为(x,y),记r=√(x^2+y^2)≠0,此角的弧度数为α,规定:

角的正弦值为sinα=y/r,

角的余弦值为cosα=x/r,

角的正切值为tanα=y/x。

这就是实数(角的弧度数)的三角运算得到的三角函数值。

对于三角运算我们有:

sin0=0,

sin(π/6)=1/2,

sin(π/4)=√2/2,

sin(π/3)=√3/2,

sin(π/2)=1

sinπ=0,

sin(3π/2)=-1,

sin2π=0,

-1≤sinα≤1。

cos0=1,

cos(π/6)=√3/2,

cos(π/4)=√2/2,

cos(π/3)=1/2,

cos(π/2)=0,

cosπ=-1,

cos(3π/2)=0,

cos2π=1,

-1≤cosα≤1。

tan0=0,

tan(π/6)=√3/3,

tan(π/4)=1,

tan(π/3)=√3,

tanπ=0,tan2π=0,

tan(π/2)与tan(3π/2)均无意义,

-∞≤tanα≤+∞。

可以看出下列同角三角关系式成立:

(sinα )^2+(cosα )^2=1,

tanα=sinα/cosα 。

三角运算有下列性质(和角,差角公式):

sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ,

sin(α -β)=sinα cosβ-cosα sinβ,

cos(α +β)=cosα cosβ-sinα sinβ,

cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ,

tan(α +β)=(tanα + tanβ)/(1-tanα tanβ),

tan(α -β)=(tanα - tanβ)/(1+tanα tanβ)。

有了上述性质公式,可很方便地得到倍角,半角公式。

倍角公式:

sin2α =2sinα cosβ,

cos2α=(cosα )^2-(sinα)^2 =2(cosα )^2-1=1-2(sinα)^2 。

tan2α =2tanα /(1-(tanα )^2),

半角公式:

(sin(α/2))^2=(1-cosα)/2,

(cos(α/2))^2=(1+cosα)/2,

(tan(α/2))^2=(1-cosα)/(1+cosα)。

等等。

用这些公式,可以进行三角函数值的计算,可以解几何问题。

特别地,在三角形中,有边角的下列关系,可用来解三角形等几何或实际问题。

△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,R为△ABC外接圆半径,则:

①正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sihC=2R。

②余弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bccosA,

b^2=a^2+c^2-2accosB,

c^2=b^2+a^2-2bacosC。

3.求反三角运算

三角函数运算也有逆运算,叫反三角运算。

一般地,-π/2≤α≤π/2,且sinα=a,则称α为a的反正弦值,记为α=arcsina,显然-1≤a≤1。

一般地,0≤α≤π,且cosα=a,则称α为a的反余弦值,记为α=arccosa,显然-1≤a≤1。

一般地,-π/2<α<π/2,且tanα=a,则称α为a的反正切值,记为α=arctana,显然a∈R。

这样一来,已知三角函数值,我们就可以用反三角式子写出相应的角的弧度数。

如arcsin(-1/2)=-π/6,

arccos(-1/2)=2π/3,

arctan(-1)=-π/4。

4.变数与函数

在现实生活中,某个量的值不一定是常数,可能可取一系列的不同值,我们称这样的数为变数。变数常用小写字母表示,如a,b,c,x,y等。

如时间用t表示,设某一点时t=0,往后走为正时间,往前推为负时间,则t∈R。

如速度v,常取零或正值,即v≥0。

如某生某科考试分数m,满分为100分,只赋整数分,则m∈{0,1,2,3,…,99,100}。

生活、生产、科学实验中的变数处处都在。并且还可知道,不同量的变数之间可能有一定关系。其中函数关系为一个重要的关系。

如一火车以速度为100千米每小时行驶2小时,则它在这两小时里每时每刻行驶的路程s千米与时间t小时之间就有函数关系:s=100t(0≤t≤2)。

其中时间和路程的取值都是变数,它们之间的关系成正比例关系,是一种函数关系。

5.变化率与求导数运算

一个变数相对于另外一个变数变化,可能有快有慢,这就是变化率问题,在物理中就是变化速度,在几何里面就是斜率,一般来说,这种变化率在某点的瞬时值就是导数值。

这个导数值如何定义?

怎么计算?

有什么性质?

能用来解决什么问题?

6.求导逆运算:积分

求导数运算的逆运算为积分运算。

这个积分如何定义?

怎么计算?

有什么性质?

能用来解决什么问题?

6.随机数与概率

在现实生活、生产与科学实验中,还有一类特殊属性的变数,就是它取某值在实验前不能确定是否可取得,但随着大量次数的实验后,它取某值的机率大致可以确定,比如:

你早上起床时间,它是一个不确定的时间,但若你早上8点要上班,常早起1小时左右准备,则你在早6点55分至7点5分起床的次数就会比不在这段时间起床次数大很多,将n天中在这段时间起床的次数记为m,则m/n会随n的增大而趋向于一个常数p,常将p称为在这段时间起床的概率。

比如你在这段时间里起床概率为80%,即大概100天里有80天左右是在这段时间起床的,还有大概20天的起床时间或早或晚些,具体某天是否在这段时间里起床,就不好说了。

像这样一个数的出现具有随机性,事先不知道它是否出现,但它出现是有一定的机率的,这个机率有大有小,我们称这样的数为随机数。

随机数出现的概率大小,是概率论研究的课程,不再叙述。

π

ππ

π

α ,

β ,

γ ,

θ

,

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