初一数学下册必读课外书（中学生课外读物数的产生与发展）

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初一数学下册必读课外书

中学生课外读物《数的产生与发展》（实数内有关问题）

1.数列

自从有了数，人们很早就注意到排列在一起的数，很有研究价值。

比如：

正整数列：1，2，3，4，5，6，…相邻两项后项总比前项大1。

正偶数数列：2，4，6，8，10，…相邻两项后项总比前项大2。

翻倍数列：1，2，4，8，16，32，64，128，…相邻两项后项总是前项2倍。

复利收益数列：设存a元，每期利率为p，则第一期，第二期，第三期，及以后各期收益可排成：a（1＋p），a（1＋p）＾2，a（1＋p）＾3，a（1＋p）＾4，…，a（1＋p）＾n，…

素数从小到大排列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，…

像这样的一组数排成的整体，都有特点和含义。

为了研究它们，人们抽象出一般数列概念：将按照一定顺序排成的一列数a1，a2，a3，a4，…，an，…叫做数列，简记为｛an｝，其中an叫它的第n项。其中an与n之间的关系式an＝f（n）叫这个数列的通项公式，称sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为这个数列的前n项和。

最简单的数列就是常数数列｛d｝：d，d，d，d，…，d，…其每一项都是同一个数d。其通项公式为an＝d，前n项和为sn＝nd。

前述的数列也很简单。如

正偶数数列：2，4，6，8，10，…相邻两项后项总比前项大2。

翻倍数列：1，2，4，8，16，32，64，128，…相邻两项后项总是前项2倍。

将它们一般化可得：

若数列｛an｝中，从第二项起每一项比前一项都大一个常数d，则称这个数列为等差数列，d为公差。

显然d＝0时为常数数列。d＞0时为递增数列（项数n增大，项值an随之增大）。d＜0时为递减数列（项数n增大，项值an随之减小）。

可推出等差数列通项公式为an＝a1＋（n-1）d，

前n项和公式为sn＝n（a1）＋n（n-1）d／2＝n（a1＋an）／2。

如1＋2＋3＋4 …＋n＝n（n＋1）／2，

1＋2＋3＋…＋100＝100×（100＋1）／2＝5050。

若数列｛an｝中，从第二项起每一项与前一项之比为常数q，则称这个数列为等比数列，q为公比。

显然：等比数列中an≠0，q≠0。当q＝1时为常数数列。当a1＞0，q＞1时为递增数列，a1＞0，0＜q＜1时为递减数列，a1＞0，q＜0时为摆动数列（随项数n增大，项值an忽大忽小），等。

可推出等比数列的通项公式为an＝（a1）q＾（n-1），

前n项和公式为：q≠1时sn＝（a1）（1-q＾n）／（1-q），q＝1时sn＝n（a1）。

如：1＋2＋4＋8＋…＋2＾（n-1）＝1×（1-2＾n）／（1-2）＝2＾n-1。

如：｛3＾n＋2n｝的前100项和为3（3＾100-1）／2＋10100。

其它典型数列如：

｛n＾2｝：1，4，9，16，25，36，49，…，n＾2，…

可求得其前n项和为sn＝n（n＋1）（2n＋1）／6。

｛1／（n（n＋1））｝：1／（1×2），1／（2×3），1／（3×4），1／（4×5），…，1／（n×（n＋1）），…

由于其通项an＝1／（n×（n＋1））＝1／n-1/（n＋1），然后求和可互相抵消得其前n项和为sn＝1-1/（n＋1）＝n／（n＋1）。

循环数列如：-1，0，1，-1，0，1，-1，0，1，-1，0，1，…，-1，0，1，…

其前3n项和为0，其前3n-1项及前3n-2项和都为-1。

研究数列，是为了寻找数之间的规律，寻找求和方法。

2.求三角运算

由前知，和数，差数，积，商，指数幂，对数都是由实数系统内的运算而推出来的数。

三角函数是个例外，它不是来自实数系统内的运算而得来的，而是在解决几何旋转问题中引出来的，有了它们，可以很方便地解决几何中的边角间关系问题。

下面加以专门介绍。

空间物体运动，可分解为平行移动和旋转。而旋转与角度有关。

角度如何度量大小呢？

先寻找度量单位。

早人们将一周角平分数360等份，每一等份为1度的角。将1度的角60等份，每一等份为1分的角。将1分的角60等份，每一等份为1秒的角。然后用度分秒为单位去度量角的大小，得到的度量角的制度叫度分秒制。

但这个度量制度，随着数学的深入发展被丢弃了。

后来人们用孤度制代替了度分秒制。

弧度制的单位是1弧度的角，规定其大小是长等于半径的圆弧所对的圆心角。记为1rad。

可知：

π弧度＝180度。1rad≈57.3度。1度＝π／180弧度。

有了度量单位后，我们规定逆时针旋转的角为正角，其弧度数为正数，顺时针旋转的角为负角，其弧度数为负数，零角弧度数为0。

这样一来，一个任意角的弧度数就是一个实数，一个实数为弧度数的角也唯一确定。即建立了一个任意角与实数的一一对应。

有了任意角及大小，就可以定义三角函数值了。

将一个角放在平面直角坐标系中，使其始边与ox轴重合，然后在终边上取不与顶点重合的一点P，其坐标为（x，y），记r＝√（x＾2＋y＾2）≠0，此角的弧度数为α，规定：

角的正弦值为sinα＝y／r，

角的余弦值为cosα＝x／r，

角的正切值为tanα＝y／x。

这就是实数（角的弧度数）的三角运算得到的三角函数值。

对于三角运算我们有：

sin0＝0，

sin（π／6）＝1／2，

sin（π／4）＝√2／2，

sin（π／3）＝√3／2，

sin（π／2）＝1

sinπ＝0，

sin（3π／2）＝-1，

sin2π＝0，

-1≤sinα≤1。

cos0＝1，

cos（π／6）＝√3／2，

cos（π／4）＝√2／2，

cos（π／3）＝1／2，

cos（π／2）＝0，

cosπ＝-1，

cos（3π／2）＝0，

cos2π＝1，

-1≤cosα≤1。

tan0＝0，

tan（π／6）＝√3／3，

tan（π／4）＝1，

tan（π／3）＝√3，

tanπ＝0，tan2π＝0，

tan（π／2）与tan（3π／2）均无意义，

-∞≤tanα≤＋∞。

可以看出下列同角三角关系式成立：

（sinα ）＾2＋（cosα ）＾2＝1，

tanα＝sinα／cosα 。

三角运算有下列性质（和角，差角公式）：

sin（α ＋β）＝sinα cosβ＋cosα sinβ，

sin（α -β）＝sinα cosβ-cosα sinβ，

cos（α ＋β）＝cosα cosβ-sinα sinβ，

cos（α -β）＝cosα cosβ＋sinα sinβ，

tan（α ＋β）＝（tanα ＋ tanβ）／（1-tanα tanβ），

tan（α -β）＝（tanα - tanβ）／（1＋tanα tanβ）。

有了上述性质公式，可很方便地得到倍角，半角公式。

倍角公式：

sin2α ＝2sinα cosβ，

cos2α＝（cosα ）＾2-（sinα）＾2 ＝2（cosα ）＾2-1＝1-2（sinα）＾2 。

tan2α ＝2tanα ／（1-（tanα ）＾2），

半角公式：

（sin（α／2））＾2＝（1-cosα）／2，

（cos（α／2））＾2＝（1＋cosα）／2，

（tan（α／2））＾2＝（1-cosα）／（1＋cosα）。

等等。

用这些公式，可以进行三角函数值的计算，可以解几何问题。

特别地，在三角形中，有边角的下列关系，可用来解三角形等几何或实际问题。

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，R为△ABC外接圆半径，则：

①正弦定理：a／sinA＝b／sinB＝c／sihC＝2R。

②余弦定理：

a＾2＝b＾2＋c＾2-2bccosA，

b＾2＝a＾2＋c＾2-2accosB，

c＾2＝b＾2＋a＾2-2bacosC。

3.求反三角运算

三角函数运算也有逆运算，叫反三角运算。

一般地，-π/2≤α≤π／2，且sinα＝a，则称α为a的反正弦值，记为α＝arcsina，显然-1≤a≤1。

一般地，0≤α≤π，且cosα＝a，则称α为a的反余弦值，记为α＝arccosa，显然-1≤a≤1。

一般地，-π/2＜α＜π／2，且tanα＝a，则称α为a的反正切值，记为α＝arctana，显然a∈R。

这样一来，已知三角函数值，我们就可以用反三角式子写出相应的角的弧度数。

如arcsin（-1/2）＝-π／6，

arccos（-1/2）＝2π／3，

arctan（-1）＝-π／4。

4.变数与函数

在现实生活中，某个量的值不一定是常数，可能可取一系列的不同值，我们称这样的数为变数。变数常用小写字母表示，如a，b，c，x，y等。

如时间用t表示，设某一点时t＝0，往后走为正时间，往前推为负时间，则t∈R。

如速度v，常取零或正值，即v≥0。

如某生某科考试分数m，满分为100分，只赋整数分，则m∈｛0，1，2，3，…，99，100｝。

生活、生产、科学实验中的变数处处都在。并且还可知道，不同量的变数之间可能有一定关系。其中函数关系为一个重要的关系。

如一火车以速度为100千米每小时行驶2小时，则它在这两小时里每时每刻行驶的路程s千米与时间t小时之间就有函数关系：s＝100t（0≤t≤2）。

其中时间和路程的取值都是变数，它们之间的关系成正比例关系，是一种函数关系。

5.变化率与求导数运算

一个变数相对于另外一个变数变化，可能有快有慢，这就是变化率问题，在物理中就是变化速度，在几何里面就是斜率，一般来说，这种变化率在某点的瞬时值就是导数值。

这个导数值如何定义？

怎么计算？

有什么性质？

能用来解决什么问题？

6.求导逆运算：积分

求导数运算的逆运算为积分运算。

这个积分如何定义？

怎么计算？

有什么性质？

能用来解决什么问题？

6.随机数与概率

在现实生活、生产与科学实验中，还有一类特殊属性的变数，就是它取某值在实验前不能确定是否可取得，但随着大量次数的实验后，它取某值的机率大致可以确定，比如：

你早上起床时间，它是一个不确定的时间，但若你早上8点要上班，常早起1小时左右准备，则你在早6点55分至7点5分起床的次数就会比不在这段时间起床次数大很多，将n天中在这段时间起床的次数记为m，则m／n会随n的增大而趋向于一个常数p，常将p称为在这段时间起床的概率。

比如你在这段时间里起床概率为80％，即大概100天里有80天左右是在这段时间起床的，还有大概20天的起床时间或早或晚些，具体某天是否在这段时间里起床，就不好说了。

像这样一个数的出现具有随机性，事先不知道它是否出现，但它出现是有一定的机率的，这个机率有大有小，我们称这样的数为随机数。

随机数出现的概率大小，是概率论研究的课程，不再叙述。

π

ππ

π

α ，

β ，

γ ，

θ

,