初二数学下册二次根式讲解（自学看不懂网课跟不上）

一、学习内容：

1、理解二次根式定义。

2、理解并掌握二次根式有意义的条件，能利用二次根式有意义的条件解决问题。

3理解并掌握（√a）²=a(a≥0)。

4理解并掌握√a²=丨a丨(当a≥0时，等于a；当a≤0时等于－a)。

二、学习方法指导

1、二次根式定义:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。√称为二次根号，a称为被开方数。

理解:(1)二次根式表示的是非负数的算术平方根。

例:下列各式中哪个是二次根式，哪个不是二次根式，为什么不是？

①√5；②－√5；③√－5；④√－a²－1；⑤√a b(a≥0，b≥0)；⑥－√m 2(m≥－2)

⑦√－(x－2)²(x≠2)

解:①，②，⑤，⑥是二次根式，－√5表示5的负平方根，也可以说5的算术平方根的相反数。

③，④，⑦不是二次根式。因为③④⑦的被开方数都是负数，负数没有算术平方根，所以它们不是二次根式。

(2)因为在实数范围负数没有算术平方根，所以a≥0，√a≥0

例如:(1)已知|x－2| √y 3=0，求x－y的值。

分析:因为绝对值与算术平方根都是非负数，非负数的和为0，则每个数都等于0。解:∵|x－2| √y 3=0

∴x－2=0，x=2。y 3=0，y=－3。

∴x－y=2－(－3)=5。

(2)已知a，b为一等腰三角形的两边长，且满足2√3a－6 3√2－a=b－4，求此等腰三角形的周长。

解:∵3a－6≥0，∴a≥2

又∵2－a≥0，∴a≤2

∴a=2

又∵2√3a－6 3√2－a=b－4

∴b－4=0，∴b=4

∵该三角形为等腰三角形，且三角形两边之和大于第三边。

∴三角形的三边应是4，4，2。

∴三角形周长为4 4 2=10。

2、二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。

理解:(1)像√2表示2的算术平方根，有意义。√－2则无意义，因为负数没有算术平方根。(2)根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围时，只要让被开方数大于或等于0即可。

例1:当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1、√x－2， 2、√2x 6，

3、√－x， 4、√x² 1，

解:1、由x－2≥0得x≥2。2、由2x 6≥0得x≥－3。3、由－x≥0得x≤0。4、由x² 1≥0可知x取任意实数时，x² 1都大于0，所以x的取值范围是全体实数。

例2:思考:(1)当x是怎样的实数时，√x²在实数范围内有意义？√x³？偶次方时x取值范围是全体实数，奇次方时x取值范围是x≥0。

(2)若√3x－1 √1－3x有意义，则x=____

因为要使题中的两根式都有意义，

则3x－1≥0可得x≥1/3，同时1－3x≥0，可得x≤1/3，所以x=1/3

巩固练习。

3、二次根式的性质(1)(√a)²=a(a≥0)。

解析:由算术平方根的定义可知x²=a，则x=√a，√a叫a的算术平方根，如√5是5的算术平方根，则(√5)²=5。

在x²=a中，因为任何一个实数的平方都大于或等于0，所于a≥0。因此(√a)²=a(a≥0)。

例1:计算:

①(2√5)²，②－(√7)²，③5(√3)²

④(√4)²－(3√2)²

解:①(2√5)²=2²×(√5)²=4×5=20

②－(√7)²=－7

③5(√3)²=5×3=15

④(√4)²－(3√2)²=4－9×2=4－18=－14

(2)√a²=|a|，

当a≥0时等于a 当 a≤0时等于－a。(即a≥0时等于它本身a，a≤0时等于它的相反数－a)

解析:因为√2²=√4=2。 所以√2²=2 。

而√(－2)²=√4=2 所以√(－2)²=2。

例如:1、化简(1) √(－5)² ，(2)√7²

(3)√(π－3)²， (4)√(a－1)²(a≤1)

解:√(－5)²=5， √7²=7

√(π－3)²=π－3 ( 因为π－3﹥0 ，所以等于它本身π－3)

√(a－1)²=－(a－1)=1－a，(因为a≤1则a－1≤0，所以等于a－1的相反数－(1－a)，再去括号得1－a。)

2、已知a √a²=0则a的取值范围是___。

因为a (－a)=0，所以√a²=－a，所以a的取值范围是a≤0。

3、已知0<x<1，化简|x|－√(1－x)²。

分析:因为0<x<1，所以x>0，|x|=x。因为0<x<1，所以1－x>0，√(1－x)²=1－x。解:|x|－√(1－x)²

=x－(1－x)

=x－1 x

=2x－1。

4、已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简丨a b丨 √(b－a)²

解:∵a<0，b>0且丨a丨>丨b丨

∴a b<0，b－a>0

∴丨a b丨 √(b－a)²

=－(a b) (b－a)

=－a－b b－a

=－2a

,