三角函数图像与性质基础知识讲解(三角函数图像与性质及函数y)

三角函数作为高考必考章节,虽说定位之高,但是考查题型比较固定,属于送分题型,不知各位亲们,看了这句话作何感想?送分?怎么可能?那多公式,我至今不记得,学过就忘掉。。。。。。

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却是,如上图,三角公式是整个高中数学章节中结论最多,公式最多的一个章节, 如何做到不记忆公式而能达到熟练应用公式而解题的目的呢?还是一句话,只有站在理解的程度上,才能融汇贯通,一通百通,无敌于天下。

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还有就是巧记,利用一些口诀和图形,帮助我们来记忆和理解,相信上面这个图大家记忆尤深。

今天我们就来就三角函数图像与性质及函数y=Asin(wx ∮)的图像变换做一下深度剖析,学会了,理解啦,三角必得分。

第一、我们要明确我们所学的三角函数有哪些?

有的同学可能要说,不就是正余弦,正切函数吗?不假,再加上一个余切更完美了,如果再添上正割余割就更加 beautiful啦!哈哈,正割余割高中阶段不做要求,不考,我们也就不赘述啦。且看正余弦,正切函数图像于性质:

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结合正切函数y=tanx的图像与诱导公式 tan(π/2 α)=-cotα,我们可以得到y=cotx的图像与性质,如下图:

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下面是y=cotx的详图;

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这是y=tanx与y=cotx交织在一起的美图,数学之美由此可见;

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不忍正割余割落下,大黄这里也把他拉起来,呈现在大家面前,给大家一个完美的三角函数图像与性质版图。详见下图:

(1)正割函数:y=secx

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(2)余割函数:y=cscx

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(3)正割与余割函数交织在一起的美图;

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看了以上三角函数的各个图像以及性质,相信大家头脑中一个“懵”字了得,图形很美,但是我如何来学啊,怎样画啊,哈哈,难为大家啦,今天大黄为你解惑来啦!且看

第二、三角函数图像如何来画?

1、描点法:老基础的方法啦,按照列表,描点,连线三部曲做出即可;

2、几何法:借助于三角函数线,通过平移来做;

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3、五点法:先描出5个关键点,再用光滑的曲线连起来,主要应用于对图像精度要求不高的情况下。

4、变换作图法:主要针对函数y=Asin(wx ∮)的作图,这里A叫做振幅,T=2π/|ω|,f=1/T叫做频率,wx ∮叫做相位,∮叫做初相。

(1)相位变换:把函数y=sinx图像上所有点向左(∮>0)或者向右(∮<0)平移|∮|个单位,得到y=sin(x ∮)的图像;

(2)周期变换:把函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的1/ω倍,得到y=sinωx的图像;

(3)振幅变换:把函数y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长为原来的A倍,得到y=Asinx的图像;

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注意:

1、由y=sinx得到y=Asin(wx ∮)的过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的思想;

2、若y=Asin(wx ∮)中的w<0,可先用诱导公式把x前的系数变为正数,然后进行变换;

3、其性质中:最值问题,对称轴,对称中心,奇偶性,单调性,周期性参考上图并融入正弦函数的图像与性质,理解起来会更加容易和鞭辟入里;

第三、就三角函数的性质的几点说明:

1、奇偶性

判断方法如下:

(1)定义法:利用定义,明确定义域,结合f(-x)与f(x)的关系即可;

(2)图像法:利用图像的对称性来确定其奇偶性,奇函数图像关于原点对称,偶函数关于y轴对称;

(3)验证法:即验证f(-x)±f(x)=0或者f(-x)/f(x)=±1是否成立;

(4)特殊值法:首先看定义域是否含有0,如果含有0,验证f(0)=0是否成立,之后在举除0外的特殊值,参照验证法。

一般步骤:

(1)一般情况下,需要对函数式子进行化简;

(2)求函数的定义域;

(3)依据函数的定义域是否为关于原点对称的点集,此为判断函数的奇偶性的必要条件;

(4)若定义域不能判断,再用定义法等其他方法来展开。

2、周期性

周期通常指的是非零常数T,KT(K为整数)也为函数的周期;

最小正周期说明:

(1)并非所有的周期函数都有最小正周期;

(2)若涉及周期,如不特别说明,一般指的是函数的最小正周期;

最小正周期的常用求解方法:

(1)结论法:

正弦、余弦:T=2π/|ω|,正切、余切:T=π/|ω|;

(2)图像法:

做出函数图像来确定其最小正周期;

(3)定义验证法:

f(x T)=f(x)对于定义域中所有的元素都成立的非零常数T即为周期。

3、已知三角函数值求角

实际上这是求解最简单的三角方程,若求的角的范围不限定在某个单调区间范围内,则得出的解不唯一,这个可以通过周期了解。

4、单调性

整体法是求解的主要方法,结合y=sinx或者y=cosx的单调区间,直接套即可,选择区间的时候需要关注ω的正负,一般先通过诱导公式,把式子换成x前系数为正值的情况,然后整体代换,如果ω<0,求区间的时候注意要相反来求;这一版块儿比较重要,切记。不了解的同学,随时@大黄,评论区留言;

第四、学习过程中容易犯得错误:

1、单调性:三角函数在整个定义域内没有单调性,只在局部有单函数调性;

2、对称性:正余弦函数图像的对称中心为图像与x轴的交点,而正切函数图像的对称中心除了图像本身与x轴的交点之外,还有其渐近线与x轴的交点;

3、平移变换是针对x而言的,由∮决定,伸缩变换是有ω决定,y=Asin(ωx ∮)中的平移变换,需要考虑ω;

4、在用三角函数建模求解实际问题的时候,易错之处在于忽略实际问题中的自变量的取值范围。

以上,是三角函数图像与性质及函数y=Asin(ωx ∮)的图像变换的深度剖析,未尽之处还有很多,限于篇幅,我们下篇再见,大家如有其他想法,欢迎大家评论区留言@大黄,关注大黄,学习更多。

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