几何数学模型（有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体）

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上期回顾：

在上一篇“有趣的数学|最强大脑里的阿基米德多面体原来是这样”中，魔法君为大家讲解了柏拉图多面体以及五种截角多面体，在这一篇中我们将会继续为大家讲解什么是“截半”“斜方”“扭棱”阿基米德多面体。

“截半”与“截角”类似，只不过切割点变为了每条棱的中点，故称为“截半”。“截半”产生的新截面是比“截角”大一圈的同种正多边形，而原始柏拉图多面体的所有面变为了小一圈的同种正多边形。

这样得到的多面体也必然满足半正多面体的两个条件，所以我们得到了两种截半体。

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为什么是“两种”呢？

这时候就要用到之前提到的对偶性了。大家不妨在脑海中切割一下正方体和正八面体，你会发现两者截半后得到了相同的多面体。

切割立方体

所以截半立方体就是截半八面体。

截八面体

同理，截半二十面体就是截半十二面体。

截半十二面体

至于正四面体，四刀下去，我们得到了一个正八面体，故不再记作一种阿基米德多面体。

正四面体

接下来是四种斜方体，比较复杂。

斜方体是由截半体切割而来，两种截半体和两种切割方式产生了4种斜方体。

以较为简单的截半立方体为例，作出所有棱的中点，连接同一顶点附近的四个中点，以此为截面切割，使得所有原始三角形变为小一圈的三角形，所有正方体变为小一圈的正方形。同时，对应着截半立方体的十二个顶点，产生十二个新的正方形的截面。这种切割方式与“截半”类似，得到的多面体称为小斜方截半立方体。

截半立方体

小斜方截半立方体

若是作出截半立方体所有棱的三等分点，连接同一顶点附近的四个三等分点，以此为截面切割，使得所有原始三角形变为正六边形，所有原始正方形变为正八边形，并产生十二个新的正方形的截面，这样就得到了大斜方截半立方体，也不难发现这种切割方式与“截角”类似。

大斜方截半立方体

同样的，对截半二十面体进行“截半”和“截角”，分别可以得到小斜方截半二十面体和大斜方截半二十面体。

小斜方截半二十面体和大斜方截半二十面体

现在，我们已经介绍完了11种由切割构造的阿基米德多面体。

喘口气，接下来欣赏一下两种最特别的阿基米德多面体——扭棱立方体和扭棱十二面体。

扭棱立方体和扭棱十二面体

扭棱立方体和扭棱十二面体的特别之处首先体现在其构造方式上。这两者不能像前11种那样用简单的切割描述。

现在请各位在脑海中想像一个立方体。将立方体的六个面扭转一定的角度，同时向外推出，推到合适的位置，使得我们刚好可以用32个等边三角形填满6个正方形之间的空隙。

示意图

这听起来很抽象。但是如果你能够想象出这一过程，就一定会被它的华丽优美深深吸引。

因为构造过程扭转了立方体的所有棱，故称为扭棱立方体。

扭棱立方体

用同样的方式可以构造出扭棱十二面体，将十二面体的所有面扭转一定的角度，同时向外推出到合适的位置，使得我们刚好可以用80个等边三角形填满12个正五边形之间的空隙，就得到了扭棱十二面体。

扭棱十二面体

现在，我们已经了解了两种扭棱体华丽的构造方式，但它们的特别之处还不止于此。

事实上，它们是极为罕见的“手性多面体”。

手性：

如果一个物体不能与自身的镜像重合，则该物体具有手性。

想象一下扭棱立方体的构造过程，如果扭转方向为顺时针，称得到的多面体为扭棱立方体A；如果扭转方向为逆时针，称得到的多面体为扭棱立方体B。

显然地，A与B的几何性质完全相同，但两者无论如何平移旋转都无法重合，一如镜子表里的两面。

扭棱十二面体也是如此。

扭棱立方体A、B

至此，我们已经了解了全部13种阿基米德多面体。

13种阿基米德多面体

但在结束之前魔法君还想讲一点题外话。

回想一下我们在上一篇“寻找阿基米德”的开头提到的多面体的对偶。事实上，多面体的对偶就是将一个多面体的顶点映射成面，面映射成顶点。

阿基米德多面体的全部顶点等价，故阿基米德多面体的对偶多面体的全部面等价。

示意图

这13种多面体被称为catalan多面体，它们也具有极高的对称性。

Catalan多面体

除此之外，还有数不尽的关于顶点、棱、面对称的凸多面体。

凸多面体

除此之外，还有有坑的，长角的，打洞的，重合的多面体。

示意图

除此之外，还有四维的，五维的对称几何体……

四维的几何对称体

五维的对称几何体

如果有兴趣你们可以继续研究^_^

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