无理数的发现和第一次数学危机(引起第一次数学危机的无理数)

大K老师:上次我们讲了毕达哥拉斯定理,今天我们来聊一聊无理数。

小C同学:好的,大K老师。

大K老师:小C,你知道吗,无理数的发现是用毕达哥拉斯定理推导出来的,并且引起了数学史上的第一次危机。

小C同学:啥?数学也会有危机吗?

大K老师:哈,是的,请听我慢慢道来。我们先来了解一下什么是无理数。但要了解无理数,我们得先知道什么是有理数。小C,你知道有理数是什么吗?

小C同学:我知道,有理数是整数和分数的统称,像我们平常所说的1、2、3、1/2、1/3……这些就是有理数。

大K老师:是的,没错。因为整数也能写成分母为1的分数,故有理数我们可以把它理解为“两个整数之比的数”。相对地,无理数我们就可以理解为“不能写作两个整数之比的数”。

小C同学:还有不能写作两个整数之比的数?这个数还真的有点难以想象。

大K老师:嗯,在毕达哥拉斯的时代也是难以想象的。在当时,毕达哥拉斯学派对数字很痴迷,甚至有着宗教式的崇敬,他们相信“万物皆数”,认为一切事物均可用整数或整数的比值来表示。

小C同学:“整数或整数的比值”——这不是上面说的有理数吗?

大K老师:是的。在当时他们认为有理数就是数轴上所有的数了。但在毕达哥拉斯定理提出后,麻烦就来了。小C,你还记得什么是毕达哥拉斯定理吗?

小C同学:记得呀,就是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

大K老师:很好!那么,假如一个直角三角形的两条直角边长度都是1,斜边是多少呢?

无理数的发现和第一次数学危机(引起第一次数学危机的无理数)(1)

小C同学:根据毕达哥拉斯定理,它应该是一个自己乘以自己等于2的数字。

无理数的发现和第一次数学危机(引起第一次数学危机的无理数)(2)

大K老师:没错!但是,这个数字是否是有理数呢?它能否表示成两个整数之比呢?

小C同学:呃……感觉有点复杂……呵呵。

大K 老师:这个问题是当时毕达哥拉斯的一个学生叫希帕索斯(Hippasus)发现的。基于当时的认知(所有数字都是有理数),他尝试过多种方法,发现都无法找到这样的一个数字(两个整数之比)来满足自己乘以自己等于2。于是他决定证明这个数字确实无法用整数比来表示,证明如下。

无理数的发现和第一次数学危机(引起第一次数学危机的无理数)(3)

小C同学:这个证明也挺巧妙的呀,看来这个学生希帕索斯也是个数学天才呀!

大K老师:是的,不过这位天才后来的命运就比较惨了。他把这个发现告诉了他的老师,然而毕达哥拉斯认为这是一个荒谬的现象,但他又无法去解决这个问题,为了捍卫他们学派的真理和信仰,他决定把这件事情隐瞒起来,并把这位学生扔到海里杀死。这就是数学史上的第一次危机。

小C同学:就这么被杀了,看来确实是“危机”呀!

大K老师:哈哈!不过这虽然是一次危机,但当我们在化解了之后,认知就会扩展,从而建立起新的理论,所以我们不要惧怕去探索那些所谓不可能的事情。上面所求斜边的结果我们今天称为根号2,像这类的数字有很多,它们被统称为无理数。无理数和有理数则统称为实数,它们的关系如下图。

无理数的发现和第一次数学危机(引起第一次数学危机的无理数)(4)

大K老师:好了,今天就讲到这里,拜!

小C同学:好的,谢谢大K老师,拜!

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