无理数的发现和第一次数学危机（引起第一次数学危机的无理数）

大K老师：上次我们讲了毕达哥拉斯定理，今天我们来聊一聊无理数。

小C同学：好的，大K老师。

大K老师：小C，你知道吗，无理数的发现是用毕达哥拉斯定理推导出来的，并且引起了数学史上的第一次危机。

小C同学：啥？数学也会有危机吗？

大K老师：哈，是的，请听我慢慢道来。我们先来了解一下什么是无理数。但要了解无理数，我们得先知道什么是有理数。小C，你知道有理数是什么吗？

小C同学：我知道，有理数是整数和分数的统称，像我们平常所说的1、2、3、1/2、1/3……这些就是有理数。

大K老师：是的，没错。因为整数也能写成分母为1的分数，故有理数我们可以把它理解为“两个整数之比的数”。相对地，无理数我们就可以理解为“不能写作两个整数之比的数”。

小C同学：还有不能写作两个整数之比的数？这个数还真的有点难以想象。

大K老师：嗯，在毕达哥拉斯的时代也是难以想象的。在当时，毕达哥拉斯学派对数字很痴迷，甚至有着宗教式的崇敬，他们相信“万物皆数”，认为一切事物均可用整数或整数的比值来表示。

小C同学：“整数或整数的比值”——这不是上面说的有理数吗？

大K老师：是的。在当时他们认为有理数就是数轴上所有的数了。但在毕达哥拉斯定理提出后，麻烦就来了。小C，你还记得什么是毕达哥拉斯定理吗？

小C同学：记得呀，就是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

大K老师：很好！那么，假如一个直角三角形的两条直角边长度都是1，斜边是多少呢？

小C同学：根据毕达哥拉斯定理，它应该是一个自己乘以自己等于2的数字。

大K老师：没错！但是，这个数字是否是有理数呢？它能否表示成两个整数之比呢？

小C同学：呃……感觉有点复杂……呵呵。

大K 老师：这个问题是当时毕达哥拉斯的一个学生叫希帕索斯（Hippasus）发现的。基于当时的认知（所有数字都是有理数），他尝试过多种方法，发现都无法找到这样的一个数字（两个整数之比）来满足自己乘以自己等于2。于是他决定证明这个数字确实无法用整数比来表示，证明如下。

小C同学：这个证明也挺巧妙的呀，看来这个学生希帕索斯也是个数学天才呀！

大K老师：是的，不过这位天才后来的命运就比较惨了。他把这个发现告诉了他的老师，然而毕达哥拉斯认为这是一个荒谬的现象，但他又无法去解决这个问题，为了捍卫他们学派的真理和信仰，他决定把这件事情隐瞒起来，并把这位学生扔到海里杀死。这就是数学史上的第一次危机。

小C同学：就这么被杀了，看来确实是“危机”呀！

大K老师：哈哈！不过这虽然是一次危机，但当我们在化解了之后，认知就会扩展，从而建立起新的理论，所以我们不要惧怕去探索那些所谓不可能的事情。上面所求斜边的结果我们今天称为根号2，像这类的数字有很多，它们被统称为无理数。无理数和有理数则统称为实数，它们的关系如下图。

大K老师：好了，今天就讲到这里，拜！

小C同学：好的，谢谢大K老师，拜！

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