什么样的三角形角平分线交于一点（为什么三角形三条角平分线相交于一点）

三角形三条角平分线一定交于一点吗？如果交于一点，这个点叫做三角形的什么点或者什么心？

答案是，三角形三条角平分线一定交于一点，这个点叫做三角形的内心，即内接圆的圆心。

这个问题等价于：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是∠ABC的角平分线，AD与BE交于O。连接CO并延长与AB交于F。证明：CF是∠ACB的角平分线。

证明过程很简单，因为角平分线和线段长度相关的只有一个性质，那就是：“角平分线上的点到角的两边距离相等” ！

证明：过O分别做BC、AB、CA的垂线，垂足分别为P、Q、R。

因为AD是∠BAC的角平分线，因此OQ=OR。

因为BE是∠ABC的角平分线，因此OP=OQ。

于是有OP=OR，即CF为∠ACB的角平分线。证毕。

如果以O为圆心，OP长度为半径做圆，那么该圆是三角形的内切圆。即三角形三条角平分线的交点是三角形的内心。