数学中的思维方法（数学中的逻辑思维）

逻辑思维的基本规律是对人们运用概念，命题，推理和论证经验的科学总结，是思维逻辑的基本表现形式。逻辑思维的基本规律有同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。

一．同一律

同一律的内容是：在同一个思维过程中，每一思维与其自身是同一的。

同一律的公式是：A是A。“A”表示任一概念，命题，“A”是A表示同一思维过程中每一概念，命题与其自身具有同一性。对于数学的概念，命题而言，同一律要求在同一思维中必须同一，准确，不能有任何丝毫不同的判断和解释。

同一律对思维过程提出了要求。首先，同一律要求人们在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变。一个概念可以多次重复使用，但它开始规定的含义及适应范围，在同一数学思维过程中都必须保持确定的含义与范围，而不能随意地加以改变和修改。在同一思维中，不能随意改变某一概念的含义，也不能把不同的概念加以混淆。违背这一要求就会出现“偷换概念”或“混淆概念”的逻辑错误。

二．矛盾律

矛盾律的内容是：在同一思维过程中，两个互相反对或互相矛盾的思维不能同时是真，其中必有一假。

两个互相反对或互相矛盾的命题不能同时都真，其中必有一假，只有在“同一思维过程中”才是有效的。如果对象不同，时间不同，关系不同，那么这种矛盾律可以不成立。

矛盾律的公式是：并非“A且非A”。“A”表示任一命题，“非A”表示与“A”相反或互相矛盾的命题。这个公式表示同一思维过程中两个互相反对或互相矛盾的命题不能同时都是真，其中必有一假。

矛盾律是关于思维一贯性的要求，遵守矛盾律就可以保证思维前后的一贯性。矛盾律要求人们在同一思维中，也就是在同一时间，同一关系下，对于具有矛盾关系和相互反对关系的判断，不应当承认它们都是真，必须断定其中有一假。如果违反矛盾律的要求，对一个思维过程中的两个互相否定的命题都断定为真，或者对一个对象既肯定又否定，就会出现“自相矛盾”的逻辑错误，人们也称之为出现了逻辑矛盾。

在有关逻辑矛盾现象中，有一种很特殊的逻辑矛盾叫悖论。它长期困扰着逻辑学和数学，这种逻辑悖论是指这样一种判断：当由这一判断为真时，却可以推证出这一判断是假的。历史上最早发现的悖论是古希腊的“说谎者悖论”。用现代形式表述是：“我说的这句话是谎话”。我们判断“说自己正在说谎的人，他的这句话是不是假的”时，就会产生悖论：若说谎者的这句话是真的，那么正在说的这句话是假的；若说谎者的这句话是假的，那么这句话就是真的。按照矛盾律来分析，悖论实际上对一个判断既肯定又否定，因此它违反了矛盾律，不符合逻辑规律的要求。

对于悖论，18世纪以前，很多人把它看作是诡辩或单纯的谬误，但是随着数学基础研究和数理逻辑的发展，人们开始重视和研究悖论，并认识到悖论对数学，逻辑学等学科的重大意义。

在学习运用矛盾律时，应注意区别客观事物的矛盾和逻辑矛盾。客观事物存在矛盾，这是不以人的意志为转移的客观规律，它是正常的客观现象。逻辑上出现矛盾，是我们主观上，思维过程中出现的矛盾现象，它是可以排除的，而且为了保持思维的正确性也是必须排除的。客观事物的矛盾与逻辑矛盾不能相互混淆。矛盾律本身不否认客观事物存在着矛盾，但是要求思维过程中必须排出矛盾。

三．排中律

排中律的内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾的思维不能都假，其中必有一真。

排中律的方式是：A或者非A。公式中的“A”与“非A”表示两个矛盾命题。“A或非A”的含义是，对同一思维对象同时作出两个互相矛盾命题时，不是A真，就是非A真。人们总是要在这两个互相矛盾的命题中作出明确的选择。

排中律与矛盾律既有联系又有区别。矛盾律不允许思维中又逻辑矛盾，指出相互否定的思维不能同时为真；排中律则进一步要求人们在相互矛盾的判断中承认其中必有一真。矛盾律是关于思维一贯性的要求，而排中律则是关于思维明确性的要求。在这一点上，可以把排中律看作是矛盾律的继续。

排中律作为一个保持思维明确性的逻辑规律，是人们认识事物，发现真理的一个必要条件。当问题归结为两个相互矛盾的判断时，排中律要求人们承认二者中必有一真，从而使人们可以得到正确的认识。但是，应当指出的是排中律要求在两个矛盾判断中作出非此即彼的选择，并不否认事物发展过程中出现的“亦此亦彼”的中间状态。排中律只是作为一个逻辑思维的规律，它不是研究事物发展演变中相互转化的规律，因此认为排中律否认，排除客观事物的中间状态，是对排中律的一种误解。

四．充足理由律

充足理由律的内容是：在同一思维中，一个判断被断定为真，必须有其充足理由。

充足理由律的公式是：因为B真，并且B推出A，所以A真。

公式中的“A”代表在论证中被确定为真的判断，称为推断；“B”代表用来确定A真的判断，称之为理由。在论证过程中，一个判断A所以能被确定为真，一定还存在另一个判断B，并且从B真可以推出A真。若B真并且从B真可以推出A真，那么我们称B为A的充足理由。

充足理由律是逻辑思维的基本规律之一，是人类思维论证性的科学根据，所谓思维的论证性即思维的有根据性。在论证中，如果一个论断被确认为真，那么这个论证就一定为这个论断提出了充足理由。当然，一个论证，如果没有为它的论断提供充足理由，该论断也就不能被确定为真。

在科学邻域里，尤其在数学领域中，任何一个观点，学说的提出和建构都要有充足的根据和有力的论证，否则就不能使人信服，这些都体现了充足理由律的要求。实际上充足理由律是表现了客观事物之间的必然联系，特别是反映了事物间因果关系。一个事物之所以具有某种性质，必然存在一定的根据，一定为先行于它的各种条件决定。一个事物之所以存在，必然有引起它存在的原因。没有它存在的条件，没有引起它出现原因，它是不可能存在的。

充足理由律对正确思维的要求有两条：其一，理由必须真实；其二，理由与推断之间要有逻辑联系。这两项要求对于正确思维来说，是缺一不可的。只有满足了充足理由律的这两项要求，才能使思维有论证性和说服力。如果违背了充足理由律的逻辑要求，就会犯“理由虚假”和“推不出”的逻辑思维错误。