90年高考数学题及答案（1986年高考数学真题）

大家好！本文和大家分享一道1986年高考理工农医类数学卷真题。

1986年高考数学卷相比于1985年在题量上有了比较大的变化，虽然还是九道大题，但是第一大题的选择题有5道增加到了10道，第二道题也有5小题增加到了6小题。本文分享的这道题位于第四大题，学生看了都说简单，但是正确率却不到60％。



本题实际上是由两个不等式组成，也就是说实际上是解不等式组。

先来看第一个不等式：sin2x＞0。

这是一个三角函数不等式，而解三角不等式常用的方法有两个：三角函数图像和单位圆。下面以sinx＞1/2为例来分解讲解这两种方法。



方法一：三角函数图像

先画出函数f(x)=sinx的图像，在图像上最靠近坐标原点的一个周期上找到sinx=1/2时x的值，即π/6和5π/6。由图像可知，当π/6＜x＜5π/6时，sinx＞1/2。又因为函数f(x)=sinx的周期为2π，所以加上周期的整数倍依然成立，即2kπ

π/6＜x＜2kπ 5π/6(k为整数)。



方法二：单位圆

因为正弦函数值在数值上等于单位圆上的点的纵坐标的值，即y=1/2。然后作直线y=1/2与单位圆相交，连接交点与坐标原点，就可以得到sinx=1/2时x的两个值。sinx＞1/2，则圆上的点在这两个交点的上部，即下图阴影部分，所以π/6＜x＜5π/6。再根据周期性加上周期的整数倍即可得到最后的答案。



回到这道高考真题。

sin2x＞0，则2kπ＜2x＜2kπ π，解得：kπ＜x＜kπ π/2，k为整数，

再看对数不等式。因为底数0.5小于1，所以函数y=log0.5(x)为减函数，则原对数不等式等价于x^2-2x-15＞0，x 13＞0且x^2-2x-15＜x 13。解这个不等式组，得：-4＜x＜-3或5＜x＜7。

接下来，取三角不等式和对数不等式的交集。

取交集时，由于三角不等式得到的解集是周期性的，所以需要讨论k的取值。



本题的难度不大，但是一些同学解三角不等式容易出错，还有一些同学在解对数不等式时忽略了对数的真数要大于0的条件，导致本题的得分率实际上也不是很高。如果是你，你能得满分吗？