数学知识点不牢靠（数学话题虚实不虚）

从我们接触数学开始，就会遇到各种各样的数，从自然数开始，我们逐渐学习了整数、分数、负数、有理数、实数。到初中结束也就到此为止了，那有没有除了实数以外的数呢？与“实”字相对应，以后我们会接触到一种叫“虚数”的数，实数与虚数统称为复数。

那什么是虚数？

01 从认识数开始

在认识虚数之前，我们先来说说什么叫数？

1和a有什么区别？对于数，我们会有各种运算，比如1 2=3、2×3=6，但是对于字母，我们得不到像a b=c或xy=z这样的结果。

简单说，数是具有运算功能的符号！

如果没有运算，1和a除了长得不一样，其他并没有区别，所以数存在的开始就有了运算，学习数的过程也是学习运算的过程。

02 初识有理数

我们从运算的角度来简单叙述一下数的发展史，我们最早认识的是自然数，什么叫自然数呢？其实就是来源于我们实际生产生活，比如说1张桌子有4条腿，这里的“1”和“4”，这次考试，张三第1，李四第2，王二毛第3，这里所出现的“1”、“2”、“3”,可以说自然数无处不在。

我们可以用1根手指、1个苹果等等来描述什么叫1，但什么叫-1呢？后来也有人提出可以用“亏损”或者“负债”这样的方式来描述负数，但总归不像自然数那么自然，并不能让所有人都接受。

其实可以换个角度来看，为什么一定要有找到一个具体的事物来对应呢？

数学源于生活但不是生活，数学是一门定好规则的符号游戏，只要符合我们预先设置的规则，就是合理的。所以我们不需要指出负数具体是什么，只要能说清其来源，并且适用于我们现有的运算体系且不会产生一些不可调和的矛盾，我们就可以承认其存在。

于是由于作减法可能会产生新的数，自然数不再满足我们对计算的要求，我们的数系便扩大到了整数，包括正整数、0、负整数。

那分数是怎么来的呢？有了上面的思路，这里就很显然了，对两个整数作乘法，结果一定还是个整数，但是对任意两个整数作除法呢？就会出现我们现在所谓的分数，所以整数并不能满足我们所有乘除法的运算，我们需要继续扩大数的范围。

以上的所有组成的大家庭我们称为有理数。有理数会具有这么一个性质：对任意两有理数作四则运算（除数不为0），结果一定还是有理数，这么个性质称为“封闭性”。这对数与计算而言，是个很重要的性质。

03 无理数的发现

最后，我们还有乘方和开方，乘方等同于乘法，不用多说，开方呢？

根号1等于1，根号4等于2，根号9等于3这些都是我们认识的数，也会有一些新面孔，比如说：根号2。

据说最早发现根号2的是毕达哥拉斯学派一个叫希帕索斯的年轻人，大约公元前400年（差不多在春秋战国时期），他发现，正方形边长为1时，对角线的长（即根号2）不是个有理数。

解释着一点很简单，根号2肯定不是个整数，没有整数的平方会等于2，同样也不会是个分数，因为分数的平方还是分数，那根号2是什么呢？在当时没有人能解释它的存在，犹如晴天霹雳，从根本上动摇了毕达哥拉斯学派万物皆数（他们所认识的数仅限于有理数）的理论，引发了第一次数学危机。

当然现在我们都知道根号2是无理数，对有理数作开方运算，结果可能并非有理数，所以如果将运算扩大到六则，则数的范围将继续扩大，有理数与无理数统称为实数。但并非所有的无理数都能通过有理数作开方所得，比如圆周率π，像这样的数我们归类为：超越数。不能表示为整系数方程根的数称为超越数。

其实实数会比我们所认识到的复杂很多。

很快我们发现，其实仅仅实数也还是不够的，在实数里我们可以对0和正数作开方运算，负数呢？

04 虚数不虚

根号-1是什么？

我们的第一反应通常是：这不存在的！

正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方还是0，所以不可能存在一个数的平方等于-1。如果事实如此的话，那结果就不尽完美了，对于开方运算，实数并不具备封闭性。对于高次方程，结果可能是灾难性的。

数学家怎么会允许这样的遗憾发生，之前没有，并不代表不存在，就像负数一样，也许此刻我们眼中的虚数就像数百年前人眼中的负数一样。

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中说道：“负数开平方是不可思议”，并且他创造一名字“imaginary number”（虚数），意思为“虚幻之数”。但后来他改变了看法，正确认识了虚数的存在，把“虚幻之数”改为“虚数”，与“实数”相对应。“虚数”因此得名，沿用至今。

140年后，欧拉首次创用符号“i”来表示根号-1，即我们所说的虚数单位。

定义：i²=-1，形如：a bi（a≠0）的数叫做虚数，其中a,b是实数。

虚数与实数构成的集合叫做复数。复数的一般形式为：a bi

a叫做实数部分，bi称为虚数部分，当b=0时为实数，当a=0时称为纯虚数。

虽然有了虚数个概念，但虚数到底是什么？是不是只是纯粹臆想出来，照这么操作，是不是也可以定义一个w使得1/0=w？

我们先来解释其存在的合理性。

创造新的数的必要条件是，一定要适用于我们现有的运算系统。

考虑对任意两复数作加法，会有：

考虑对任意两复数作乘法，会有：

考虑对任意两复数作除法，会有：

对任意复数作开方，则其结果必然还是复数。

综合以上运算，可以发现，复数完全适用于我们的这套算法体系啊，甚至，还解决了对开方具有封闭性的这个问题。

反观为何不能定义w使得，如1/0=w果存在，则w 1=?，我们只能得到w 1=w，两边同减去w，得到1=0，what？所以这样的w无法存在。

05 再识虚数

实数我们都能够理解的一个主要原因是我们有一条叫做数轴的直线，每个实数对应数轴上的一个点，准确讲，这条轴应该叫实数轴，与此对应，其实也可以有虚数轴。

问：-1×（-1）=？

结果当然都知道，负负得正，所以结果等于1嘛。

再问：为什么负负得正？

提供一种思路，我们知道2×（-1）=-2，可以这么理解，所谓×（-1）就是将数轴上的数绕原点逆时针旋转180°。

2×（-1）便是将2绕原点转180°，其结果就是-2，-1×（-1）=1也是同样的道理，将-1这个点绕原点逆时针转动180°便得到1.

观察式子：1×i×i=-1，对1做两次×i的操作，结果为-1，相当于把1绕原点逆时针转了180°。

观察式子：1×i=i，对1做一次乘i的操作，得到的结果为i，那i在什么地方？

相当于把1绕原点逆时针转了90°！

一次转90°，两次转180°，所以有1×i×i=-1。

所以i所在的位置是一条与实数轴垂直的直线，我们称其为虚数轴。

是否觉得似曾相识，和平面直角坐标系是不是像得很？

实际上，高斯同学曾表示，既然复数a bi有数部和虚部两个部分，不如用符号（a,b）来表示，（a,b）是一组有序数对，每一个（a,b）对应一个复数。

曾经，我们用（a,b）表示平面中的每一个点。

重点来了，我们可以将平面中的点与复数建立起对应关系，正如同我们将直线上的点与实数建立起的关系一样，一个点对应一个数，每个数必有一个点对应。

纯实数在实轴上，纯虚数在虚轴上，而由实数和虚数共同构成的复数则在整个平面中，这个平面称为复平面。

我们所谓的实数、虚数，并无真正虚实之分、只是由一元数变为二元数而已。

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