数学三角形判定和性质思维导图（八年级数学三角形中）

等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线，只要知道其中“一线”，就可以说明是其它“两线”。

运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程。

一、直接运用

例题1、如图所示，房屋顶角 ∠BAC = 100°，过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC，屋檐 AB = AC 。

求顶架上的 ∠B，∠C ，∠BAD 和 ∠CAD 的度数 。

例题1图

解：

∵ 在 △ABC 中 AB = AC ， ∠BAC = 100° ， AD⊥BC

∴ ∠B = ∠C = 1/2 （180° - ∠BAC）= 40°

∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 50°

例题2、如图所示，在 △ABC 中， AB = AC ， AD = DB ，DE⊥AB 于点 E ，若 BC = 10 ，且 △BDC 的周长为 24 。

求 AE 的长 。

例题2图

解：

∵ △BDC 的周长为 24 ，BC = 10

∴ BD CD = 14

∵ AD = BD

∴ AC = AD CD = BD CD = 14

又 ∵ AB = AC

∴ AB = 14

又 ∵ AD = DB ， DE⊥AB

∴ AE = EB = 1/2 AB = 7

例题3、如图所示，在 △ABC 中 ，AB = AC ， AD⊥BC 于点 D ，BE⊥AC 于点 E ，AD 和 BE 相交于点 H ，且 BE = AE 。

求证：AH = 2BD 。

例题3图

证明：

∵ AD⊥BC ， BE⊥AC

∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°

∴ ∠EBC ∠BHD = 90° ， ∠EAH ∠AHE = 90°

∵ ∠BHD = ∠AHE

∴ ∠EBC = ∠EAH

∵ BE = AE

∴ △AHE ≌ △BCE

∴ AH = BC

又 ∵ AB = AC , AD⊥BC

∴ BC = 2BD

∴ AH = 2BD

二、添加“辅助线”运用

例题4、如图所示，在等边 △ABC 中 ，D 是 AC 的中点 ，E 是 BC 的延长线上的一点，且 CE = CD ，DM⊥BC 于点 M 。

求证： M 是 BE 的中点 。

例题4图

证明：连接 BD

∵ 在等边 △ABC 中 ， D 是 AC 的中点

∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30° ，∠ACB = 60°

∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E

∵ ∠ACB = ∠CDE ∠E

∴ ∠E = 1/2 ∠ACB = 30°

∴ ∠DBC = ∠E = 30°

∴ BD = DE ∴ △BDE 为等腰三角形

又 ∵ DM⊥BC

∴ M 是 BE 的中点

三、构造运用

例题5、如图所示，在 △ABC 中 ， AC = 2AB ，AD 平分 ∠BAC ，E 是 AD 上一点 ，且 EA = EC 。

求证：EB⊥AB 。

例题5图

证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F

∵ EA = EC ∴ AF = 1/2 AC

又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE

又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB （SAS）

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° ， 即 BE⊥AB 。

例题6、如图所示，已知在等腰直角 △ABC 中， AB = AC ，∠BAC = 90° ，BF 平分 ∠ABC ，CD⊥BD 交 BF 的延长线于点 D 。

求证：BF = 2CD 。

例题6图

证明：延长 BA ， CD 交于点 E

∵ BF 平分 ∠ABC ， CD⊥BD

∴ ∠EBD = ∠CBD ，∠BDE = ∠BDC = 90°

又 ∵ BD = BD

∴ △BDC ≌ △BDE

∴ BC = BE

又 ∵ BD⊥CE ， ∴ CE = 2CD

∵ ∠BAC = 90° ， ∠BDC = 90° ， ∠AFB = ∠DFC

∴ ∠ABF = ∠DCF

又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°

∴ △ABF ≌ △ACE （ASA）

∴ BF = CE

∴ BF = 2CD

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