三角函数常见的导数题（对一道三角型导数恒成立且参数在三角内部题目的解析）

1.导数结合三角函数的题目很常见，其中的解题套路很容易理解，但相比于常规导数题目，此类问题需要多加训练才能融会贯通，眼高手低吃亏的是自己。

2.导数结合三角函数的题目类型常见有三种：一是常规的证明题；二是根据零点个数求参；三是恒成立求参

3.恒成立求参通常需要结合特殊点以及端点效应去处理，因为函数中出现了具有周期性和有界性的三角函数，函数整体求最值或判断单调性都不容易。

4.常见恒成立求参中的参数一般都不在三角函数上，即便在也会出现在系数的位置，很少会出现参数在三角函数内部，今天给出的题目就是如此。

5.这个题目答案能容易确定，题目的关键也不是答案，而是如何完整写出严整的过程，以及从中领悟如何处理此类问题的一般性解题思路。

常见三角函数型导数问题的处理方法三种

1.找特殊点，特殊值

2.切分区间，需要找到切分的依据，根据单调性或保号性

3.对三角函数放缩，例如当x>0时，sinx<x;当0<x<90°时，sinx<x<tanx；|sinx|≤1，|cosx|≤1；|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|等

在本题中，参数在三角函数内，由于参数的存在就不太容易切分区间了，当然由于本题形式的特殊性，可以把x=½作为切分的依据，读者可以试试看。

针对此类问题可以先根据端点效应确定出对参数分类讨论的依据，分三种情况讨论即可，先猜后证，可把先把三角函数利用公式展开，这种做起来会容易很多，过程如下：

上述第三种讨论放缩时存在一个错误，即利用已知的ω的范围放缩3ω时没有考虑到(sin3ωx cos3ωx)整体的符号，而当0<ω<1/3且x>0时sin3ωx cos3ωx可正可负，如何处理这个问题有两种方法：

第一种是切分区间，将x>0切分成两段，以1/2为分段点分别讨论，这种方法不再给出，读者自己试试看，第二种是不对3ω进行放缩，而是直接对e^x进行放缩，要求放缩之后3ω能作为系数直接提出，这样就无需考虑sin3ωx cos3ωx的正负，关键的步骤是如何对e^x进行放缩，如下：

以上是对这个问题的严整解法，依旧使用传统方法先猜后证，只是证明时对三角函数的处理以及放缩方式的选择要求较高。

针对此类问题其实还有另外一种方法，即整体换元，由于参数在三角函数内部，则将含参数的部分整体换元即可转化为常规的参数不在三角函数内的形式处理，这种方法依旧是先猜后证，但在证明时使用放缩会更加简单，只需对指数函数放缩即可，无需考虑三角函数部分。

如果读者能看出答案但步骤欠缺的可以参照上述两种方法，个人推荐第二种整体换元法，会更加简单一些，有关三角函数型导数题的更多内容可参考链接如下：

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