中考数学概率树状图重难点（古典与几何概率）

中考数学中的概率问题是必考问题之一，常考的有古典概率、几何概率、用频率估计概率，以及列表法和树状图求概率。一般没有难度，但是也不要大意，大意失荆州，得不偿失。

古典概型的特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

解题时找准关键词，“放回”还是“不放回”，“分别抽取”还是“从中抽取”，描述不一样，得到的总情况数也不一样，最终得到的答案也不同。

例题1：不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“-1”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为0的概率

分析：先随机拿出一个小球，放回，再从中随机拿出一个小球，因此一共有四种情况，分别为（1，1）（1，-1）（-1，-1）（-1，1），那么两次记录数字之和分别为：2，0，-2，0，由此可以求出两次记录的数字之和为0的概率。

例题2：有四根长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，并将它们首尾相连，能组成三角形的概率

分析：随机从袋内取出三根细木棒，所有等可能的结果为：2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4m，5cm；共4种情况，其中三根细木棒能构成三角形的有：2cm，3cm，4cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4m，5cm；共3种情况。

如果每个事件发生的概率只与构成这件事的区域的长度、面积、体积等成比例，那么称这样的概率为几何概率。

例题3：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案“赵爽弦图”．用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），并且（x y）^2=49，小正方形面积为1．若随机在大正方形及其内部区域投针，求针扎到直角三角形的概率

分析：根据小正方形的面积求出x^2-2xy y^2=1，再根据已知条件求出x^2 2xy y^2=49，两者相减求出xy的值，再根据三角形的面积公式求出4个直角三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在一个常数P附件，那么该事件A发生的概率也等于P，需要做大量的重复试验，找出频率的稳定值。

例题4：某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：

求该运动员射门一次，射进门的概率是多少？

分析：由踢球进门的频率m/n分别为：0.65、0.7、0.58、0.52、0.53、0.5可知频率都在0.52上下波动，所以估计这个运动员射门一次，射进门的概率为0.52

例题5：甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．

（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；

（2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

解：（1）∵共有4张卡片，分别标由数字2、3、4、5，∴这16次中抽取标有数字3的卡片的频率是1/4；

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中取出的两张卡片数字之和为3的倍数的有5种，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的有11种，则取出的两张卡片数字之和为3的倍数的概率是5/16，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的概率是11/16，

∵5/16＜11/16，

∴这个游戏规则对双方是不公平．

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。