数学家的重大发明和发现(伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现)

数学家的重大发明和发现(伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现)(1)

1735年,著名数学家莱昂哈德·欧拉发表了论文“关于倒数级数的和”,如下图1所示。在本文中,数学大师找到了求和的一般公式:

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  • 式1:整数的偶数次幂的倒数的和。

欧拉的方法吸引了无数的数学家。欧拉早在1734年就证明了巴塞尔问题。该结果将巴塞尔问题从指数2扩展到任何偶数指数。

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  • 图1:欧拉和他的里程碑式论文“关于倒数级数的和”。

前三个例子是:

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  • 式2:式1的第一个例子,k=1,2,3。第一个是巴塞尔问题,一年前由欧拉首次证明。

注意,式二2中的第一个例子是巴塞尔问题,欧拉在1734年就解决了这个问题。

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  • 图2:1712年日本的关孝一( Seki Kōwas)列出了二项式系数和伯努利数。

但在进行欧拉的精彩证明之前,必须先解释伯努利数的概念。

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  • 图3:雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)是其家族中最著名的数学家之一,他发现了伯努利数。
伯努利数

这是证明的第一部分。我首先提醒读者泰勒级数的概念。泰勒级数可以定义为“函数关于一点的级数展开”。泰勒级数的主题非常广泛,所以我不打算在这里详细讨论它,我将只讨论一种情况,即指数函数e的展开式。它是由:

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  • 式3:指数函数的泰勒级数。它的收敛半径为∞,因此对于x∈ℝ的所有值它都收敛。

e^x的收敛半径R为R=∞。这意味着式3是一个幂级数,对于x∈ℝ的所有值都收敛。

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  • 图4:这个动画显示,当我们在式3中加入更多的项时,其值趋向于e^x。

现在,为了得到伯努利数我们需要两步。第一步很简单,等式3两边同时减去1,然后除以x,得到:

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  • 式4:对方程3进行简单处理,得到函数(e^x-1)/x的泰勒级数。

对x≠0有效。伯努利数的定义如下:

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  • 式5:伯努利数是如何(间接)定义的。

为了找到B,我们将使用一些数学技巧。因为式4和式5是彼此的倒数,它们的乘积是1。然后我们可以在等式的右边同时乘以n!

经过一些简单的代数运算,我们得到了一个很好的表达式,它允许我们确定伯努利数:

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  • 式6:可以快速计算出伯努利数的方程。

那么得到的第一个伯努利数是:

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  • 式7:由式6得到的第一个伯努利数。
正切函数及其幂级数

我们现在提供证明的第二部分。在这一节中,我们需要用伯努利数来表示tan x。让我们首先考虑以下特性:

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得出:

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  • 式8:伯努利数的幂级数。

现在我们执行两个简单的步骤。用2ix(其中i为虚单位)替换式8中的x,得到:

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对式8的左边做同样的替换,我们得到:

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  • 式9:用伯努利数表示的x cot x的幂级数。

然后我们用三角恒等式:

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和式9,得出:

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  • 式10:tanx的幂级数用伯努利数表示。
​余切函数及其部分分式

现在是证明的第三部分,也是最后一部分。利用部分分式,欧拉得到如下展开:

数学家的重大发明和发现(伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现)(21)

  • 式11:对于非整数x,x cot πx的展开式同样由欧拉发现。

​我们现在比较式9和式11,用πx代替前者中的x。经过一些简单的操作,我们得到了这个奇妙的表达式:

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  • 式12:我们想要的结果。注意指数总是偶数。奇指数没有等价的展开式。

​有趣的是,奇指数没有类似的公式。当k=1时,立方的倒数的和等于一个数字—1.20,称为Apéry常数,但没有像式12那样的一般公式。

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