多边形内角和分类讨论类型题（多边形及其内角和精选联系题）

《11.3 多边形及其内角和》，今天小编就来说说关于多边形内角和分类讨论类型题?下面更多详细答案一起来看看吧!

多边形内角和分类讨论类型题

《11.3 多边形及其内角和》

一、选择题：

1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．不能作为正多边形的内角的度数的是（　　）

A．120° B．（128）° C．144° D．145°

3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（　　）

A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4

4．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（　　）

A．都是钝角 B．都是锐角

C．是一个锐角、一个钝角 D．互补

6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）

A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形

7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（　　）

A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（　　）

A．90° B．105° C．130° D．120°

二、中考题与竞赛题

9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

三、填空题：

10．多边形的内角中，最多有　　个直角．

11．从n边形的一个顶点出发可以引　　条对角线，这些对角线将这个多边形分成　　个三角形．

12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为　　．

13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为　　．

14．每一个内角都是144°的多边形有　　条边．

四、基础训练：

15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？

16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．

五、提高训练

17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．

六、探索发现

18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．

《11.3 多边形及其内角和》

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】多边形内角与外角．

【专题】计算题．

【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．

【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，

∴外角为钝角的个数最多为3个．

故选D．

【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．

2．不能作为正多边形的内角的度数的是（　　）

A．120° B．（128）° C．144° D．145°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D选项正确．

【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；

B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；

C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；

D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．

3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（　　）

A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4

【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的外角和是360°，且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等，根据选项中的比例关系求出外角的度数，根据多边形的外角和定理求出边数，如果是≥3的正整数即可．

【解答】解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；

B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；

C、外角是：180×=度，360÷=7，故可能；

D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能构成．

故选D．

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解外角与内角的关系是解题的关键．

4．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点】多边形内角与外角．

【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．

【解答】解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，

多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有3个锐角．

故选A．

【点评】本题考查了多边形的内角问题．由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑．

5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（　　）

A．都是钝角 B．都是锐角

C．是一个锐角、一个钝角 D．互补

【考点】多边形内角与外角．

【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．

【解答】解：如图：

∵四边形ABCD的内角和等于360°，

即∠A ∠B ∠C ∠D=360°，

∵∠A=∠C=90°，

∴∠B ∠D=180°．

∴另一组对角一定互补．

故选D．

【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．

6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）

A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形

【考点】多边形的对角线．

【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．

【解答】解：设这个多边形是n边形．

依题意，得n﹣3=10，

∴n=13．

故这个多边形是13边形．

故选：A．

【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．

7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（　　）

A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

【考点】多边形的对角线．

【分析】根据多边形对角线公式，可得答案．

【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得=14，

解得n=7，

故选：B．

【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记公式并灵活运用是解题关键．

8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（　　）

A．90° B．105° C．130° D．120°

【考点】多边形内角与外角．

【专题】计算题．

【分析】可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．

【解答】解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．

因为（n﹣2）180°=2570° x，

所以x=（n﹣2）180°﹣2570°=180°n﹣2930°，

∵0＜x＜180°，∴0＜180°n﹣2930°＜180°，

解得：16.2＜n＜17.2，又n为正整数，

∴n=17，

所以多边形的内角和为（17﹣2）×180°=2700°，

即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°．

故本题选C．

【点评】本题需利用多边形的内角和公式来解决问题．

二、中考题与竞赛题

9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．

【解答】解：设所求正n边形边数为n，

则1080°=（n﹣2）•180°，

解得n=8．

故选：B．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

三、填空题：

10．多边形的内角中，最多有　4　个直角．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】由多边形的外角和为360°可求得答案．

【解答】解：当内角和90°时，它相邻的外角也为90°，

∵任意多边形的外角和为360°，

∴360°÷90°=4．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键．

11．从n边形的一个顶点出发可以引　n﹣3　条对角线，这些对角线将这个多边形分成　n﹣2　个三角形．

【考点】多边形的对角线．

【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．

【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形，

故答案为：n﹣3，n﹣2．

【点评】本题考查了多边形的对角线，由对角线的定义，可画出具体多边形对角线，得出n边形的对角线．

12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为　9　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的外角和定理，列出不等式即可求解．

【解答】解：因为n边形的外角和是360度，每一个内角都大于135°即每个外角小于45度，

就得到不等式：，解得n＞8．

因而这个多边形的边数最少为9．

【点评】本题已知一个不等关系就可以利用不等式来解决．

13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为　11　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．

【解答】解：设多边形的一个内角为9x度，则一个外角为2x度，依题意得

9x 2x=180°

解得x=（）°

360°÷[2×（）°]=11．

答：这个多边形的边数为11．

【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征．

14．每一个内角都是144°的多边形有　10　条边．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．

【解答】解：解法一：设所求n边形边数为n，

则144°n=（n﹣2）•180°，

解得n=10；

解法二：设所求n边形边数为n，

∵n边形的每个内角都等于144°，

∴n边形的每个外角都等于180°﹣144°=36°．

又因为多边形的外角和为360°，

即36°•n=360°，

∴n=10．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

四、基础训练：

15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，按规律求解．

【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；

n=2时，有5个三角形，需要火柴的根数为：3×（1 2）；

n=3时，需要火柴的根数为：3×（1 2 3）；

…；

n=20时，需要火柴的根数为：3×（1 2 3 4 … 20）=630．

【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是弄清到底有几个小三角形．

16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形外角和为360°及多边形的每一个外角都等于24°，求出多边形的边数即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，

则根据多边形外角和为360°，可得出：

24×n=360，

解得：n=15．

所以这个多边形的边数为15．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形外角和为360°．

五、提高训练

17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：n=180（a﹣2）：360，从而用m、n表示出a的值．

【解答】解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，

m：n=180（a﹣2）：360

a=，

因为m，n 是互质的正整数，a为整数，

所以n=2，

故答案为：，2．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．

六、探索发现

18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．

【考点】多边形的对角线．

【分析】从n边形的一个顶点出发，最多可以引n﹣3条对角线，然后即可计算出结果．

【解答】解：过n边形的一个顶点可引出n﹣3条对角线；n边形共有条对角线．

【点评】本题主要考查的是多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．

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