多边形内角和分类讨论类型题(多边形及其内角和精选联系题)

《11.3 多边形及其内角和》,今天小编就来说说关于多边形内角和分类讨论类型题?下面更多详细答案一起来看看吧!

多边形内角和分类讨论类型题(多边形及其内角和精选联系题)

多边形内角和分类讨论类型题

《11.3 多边形及其内角和》

一、选择题:

1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是(  )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.不能作为正多边形的内角的度数的是(  )

A.120° B.(128)° C.144° D.145°

3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是(  )

A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4

4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有(  )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角一定(  )

A.都是钝角 B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角 D.互补

6.若从一多边形的一个顶点出发,最多可引10条对角线,则它是(  )

A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形

7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是(  )

A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形

8.一个凸多边形除一个内角外,其余各内角的和为2570°,则这个内角的度数等于(  )

A.90° B.105° C.130° D.120°

二、中考题与竞赛题

9.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是(  )

A.9 B.8 C.7 D.6

三、填空题:

10.多边形的内角中,最多有  个直角.

11.从n边形的一个顶点出发可以引  条对角线,这些对角线将这个多边形分成  个三角形.

12.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为  

13.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为  

14.每一个内角都是144°的多边形有  条边.

四、基础训练:

15.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(N=20)时,需要多少根火柴?

16.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.

五、提高训练

17.一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.

六、探索发现

18.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.

《11.3 多边形及其内角和》

参考答案与试题解析

一、选择题:

1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是(  )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【考点】多边形内角与外角.

【专题】计算题.

【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个.

【解答】解:∵一个多边形的外角和为360°,

∴外角为钝角的个数最多为3个.

故选D.

【点评】本题考查了多边形的外角和:n边形的外角和为360°.

2.不能作为正多边形的内角的度数的是(  )

A.120° B.(128)° C.144° D.145°

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据n边形的内角和(n﹣2)•180°分别建立方程,求出n,由于n≥3的整数即可得到D选项正确.

【解答】解:A、(n﹣2)•180°=120•n,解得n=6,所以A选项错误;

B、(n﹣2)•180°=(128)°•n,解得n=7,所以B选项错误;

C、(n﹣2)•180°=144°•n,解得n=10,所以C选项错误;

D、(n﹣2)•180°=145°•n,解得n=,不为整数,所以D选项正确.

故选D.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理:n边形的内角和为(n﹣2)•180°.

3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是(  )

A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4

【考点】多边形内角与外角.

【分析】多边形的外角和是360°,且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等,根据选项中的比例关系求出外角的度数,根据多边形的外角和定理求出边数,如果是≥3的正整数即可.

【解答】解:A、外角是:180×=60°,360÷60=6,故可能;

B、外角是:180×=90°,360÷90=4,故可能;

C、外角是:180×=度,360÷=7,故可能;

D、外角是:180×=80°.360÷80=4.5,故不能构成.

故选D.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理,理解外角与内角的关系是解题的关键.

4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有(  )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

【考点】多边形内角与外角.

【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案.

【解答】解:因为多边形的外角和是360度,在外角中最多有三个钝角,如果超过三个则和一定大于360度,

多边形的内角与相邻的外角互为邻补角,则外角中最多有三个钝角时,内角中就最多有3个锐角.

故选A.

【点评】本题考查了多边形的内角问题.由于内角和不是定值,不容易考虑,而外角和是360度不变,因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.

5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角一定(  )

A.都是钝角 B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角 D.互补

【考点】多边形内角与外角.

【分析】由四边形的内角和等于360°,又由有一组对角都是直角,即可得另一组对角一定互补.

【解答】解:如图:

∵四边形ABCD的内角和等于360°,

即∠A ∠B ∠C ∠D=360°,

∵∠A=∠C=90°,

∴∠B ∠D=180°.

∴另一组对角一定互补.

故选D.

【点评】此题考查了四边形的内角和定理.此题难度不大,解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°.

6.若从一多边形的一个顶点出发,最多可引10条对角线,则它是(  )

A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形

【考点】多边形的对角线.

【分析】根据多边形的对角线的定义可知,从n边形的一个顶点出发,可以引(n﹣3)条对角线,由此可得到答案.

【解答】解:设这个多边形是n边形.

依题意,得n﹣3=10,

∴n=13.

故这个多边形是13边形.

故选:A.

【点评】多边形有n条边,则经过多边形的一个顶点所有的对角线有(n﹣3)条,经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形.

7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是(  )

A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形

【考点】多边形的对角线.

【分析】根据多边形对角线公式,可得答案.

【解答】解:设多边形为n边形,由题意,得=14,

解得n=7,

故选:B.

【点评】本题考查了多边形的对角线,熟记公式并灵活运用是解题关键.

8.一个凸多边形除一个内角外,其余各内角的和为2570°,则这个内角的度数等于(  )

A.90° B.105° C.130° D.120°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】计算题.

【分析】可设这是一个n边形,这个内角的度数为x度,利用多边形的内角和=(n﹣2)•180°,根据多边形内角x的范围,列出关于n的不等式,求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值,从而求出多边形的内角和,减去其余的角即可解决问题.

【解答】解;设这是一个n边形,这个内角的度数为x度.

因为(n﹣2)180°=2570° x,

所以x=(n﹣2)180°﹣2570°=180°n﹣2930°,

∵0<x<180°,∴0<180°n﹣2930°<180°,

解得:16.2<n<17.2,又n为正整数,

∴n=17,

所以多边形的内角和为(17﹣2)×180°=2700°,

即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°.

故本题选C.

【点评】本题需利用多边形的内角和公式来解决问题.

二、中考题与竞赛题

9.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是(  )

A.9 B.8 C.7 D.6

【考点】多边形内角与外角.

【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,依此列方程可求解.

【解答】解:设所求正n边形边数为n,

则1080°=(n﹣2)•180°,

解得n=8.

故选:B.

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.

三、填空题:

10.多边形的内角中,最多有 4 个直角.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】由多边形的外角和为360°可求得答案.

【解答】解:当内角和90°时,它相邻的外角也为90°,

∵任意多边形的外角和为360°,

∴360°÷90°=4.

故答案为:4.

【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角,明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键.

11.从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线,这些对角线将这个多边形分成 n﹣2 个三角形.

【考点】多边形的对角线.

【分析】根据n边形对角线的定义,可得n边形的对角线,根据对角线的条数,可得对角线分成三角形的个数.

【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线,这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形,

故答案为:n﹣3,n﹣2.

【点评】本题考查了多边形的对角线,由对角线的定义,可画出具体多边形对角线,得出n边形的对角线.

12.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为 9 

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据多边形的外角和定理,列出不等式即可求解.

【解答】解:因为n边形的外角和是360度,每一个内角都大于135°即每个外角小于45度,

就得到不等式:,解得n>8.

因而这个多边形的边数最少为9.

【点评】本题已知一个不等关系就可以利用不等式来解决.

13.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为 11 

【考点】多边形内角与外角.

【分析】先根据多边形的内角和外角的关系,求出一个外角.再根据外角和是固定的360°,从而可代入公式求解.

【解答】解:设多边形的一个内角为9x度,则一个外角为2x度,依题意得

9x 2x=180°

解得x=()°

360°÷[2×()°]=11.

答:这个多边形的边数为11.

【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想.关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征.

14.每一个内角都是144°的多边形有 10 条边.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,因为所给多边形的每个内角均相等,故又可表示成120°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件,求出这个多边形的外角,再利用多边形的外角和定理求解.

【解答】解:解法一:设所求n边形边数为n,

则144°n=(n﹣2)•180°,

解得n=10;

解法二:设所求n边形边数为n,

∵n边形的每个内角都等于144°,

∴n边形的每个外角都等于180°﹣144°=36°.

又因为多边形的外角和为360°,

即36°•n=360°,

∴n=10.

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.

四、基础训练:

15.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(N=20)时,需要多少根火柴?

【考点】规律型:图形的变化类.

【分析】关键是通过归纳与总结,得到其中的规律,按规律求解.

【解答】解:n=1时,有1个三角形,需要火柴的根数为:3×1;

n=2时,有5个三角形,需要火柴的根数为:3×(1 2);

n=3时,需要火柴的根数为:3×(1 2 3);

…;

n=20时,需要火柴的根数为:3×(1 2 3 4 … 20)=630.

【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题,本题的关键是弄清到底有几个小三角形.

16.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据多边形外角和为360°及多边形的每一个外角都等于24°,求出多边形的边数即可.

【解答】解:设这个多边形的边数为n,

则根据多边形外角和为360°,可得出:

24×n=360,

解得:n=15.

所以这个多边形的边数为15.

【点评】本题考查了多边形内角与外角,解答本题的关键在于熟练掌握多边形外角和为360°.

五、提高训练

17.一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】设多边形的边数为a,多边形内角和为(a﹣2)180度,外角和为360度得到m:n=180(a﹣2):360,从而用m、n表示出a的值.

【解答】解:设多边形的边数为a,多边形内角和为(a﹣2)180度,外角和为360度,

m:n=180(a﹣2):360

a=,

因为m,n 是互质的正整数,a为整数,

所以n=2,

故答案为:,2.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角,解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和.

六、探索发现

18.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.

【考点】多边形的对角线.

【分析】从n边形的一个顶点出发,最多可以引n﹣3条对角线,然后即可计算出结果.

【解答】解:过n边形的一个顶点可引出n﹣3条对角线;n边形共有条对角线.

【点评】本题主要考查的是多边形的对角线,掌握多边形的对角线公式是解题的关键.

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