人人都可以学会三角函数（如何让11岁的表妹了解三角函数的原理）

三角函数的责难

正弦、余弦决战

最近，实习生小天的11岁表妹拿着课本来问她：小天表姐，今天数学老师教了我们三角函数。

小天：嗯，三角函数，挺简单的嘛。

表妹：老师让我们画正弦函数的图像时，只叫我们先标好 x=0，x=π/2，x=π，x=3π/2 ，x=2π 这5个特殊点，然后用圆滑的曲线将它们链接起来就行了。

小天：嗯，对啊。

表妹：可是我并不明白三角函数的图像为什么要这样画啊！

然后小天一脸懵逼，心想：三角函数不就是这样画的吗，我怎么知道它为什么要这样画？！

于是，小天就打太极，说：额，这个嘛，老师说的是对的呀。。。就是这样画的。。。

小表妹就不依了：小天表姐，你怎么连三角函数都不会啊，你不是数学学院的吗？

竟然被11岁表妹怀疑自己的数学，小天立马百度了一下“三角函数”：

好长好详尽的介绍，但是貌似真的没有讲到三角函数图像的形成过程。

小天的心哐噔一声：完了，连百度都拯救不了我的三角函数。。。

最后，只能向超模君求救。

小天就很正（zhuang）经（bi）地问超模君：超模君，有个问题要考考你，你知道三角函数（正余弦）为什么是两个半圆吗？

超模君一听：当然知道，这是由它的自变量和因变量决定的。

小天问：那么，三角函数的自变量和因变量是什么呢？

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君：你看看这张图，正弦函数其实就是描述圆上任意一点的y坐标（红）和弧长（蓝）之间的关系。

小天，你仔细看看，左图的蓝色弧长（圆的周长）和右图的蓝线长度是相等的，弧长又和弧度也是完全对应的。

1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角，π弧度就是正好半个圆。（圆周长C=2πr）

举个例子，之所以 sinπ=0，正是因为当蓝线走了一个半圆（即一个π）的时候，正好就走回到了 y = 0 的地方。

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

小天：那么余弦函数呢？

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君：余弦函数也是很简单呀，也是描述圆上任意一点的x坐标和弧长之间的关系，只不过在画函数的时候，把圆上点的x坐标打了个弯（1/4圆），对应成了函数曲线上的y坐标，就像这张图里的蓝线那样。

小天，你过来看看，如果我们直接将函数竖起来，就成了下图这样：

小天：超模君，你好帅呀

超模君（低调低调，我的帅早已世人皆知）：当然，这种对应关系也可以用在其它的几何图形上，只不过画出来的图像就没有上面的那么美丽了。

比如下面这个丑陋的心形。

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君还是觉得圆圆的才是最好看的！

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小天：哇，看来数学公众号头把交椅还是有点料的嘛！

超模君：等等，别急！除了正常坐标，想不想了解一下极坐标的魔法呀！（举报！超模君快变唐僧了！）

（不过想到可以在表妹面前炫耀）小天还是耐心地听着：什么魔法？快讲讲！

超模君：哈哈哈，别急，还记不记得极坐标。我们把直角坐标转换成极坐标，你试试看。

图片作者：LucasVB（1ucasvb）

小天：超模君，这是怎么弄的呀？

超模君：哈哈哈，首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。（在极坐标里我们都是把0°定义在了朝右，因此需要这一步。如果0°是更自然的朝上，那就不需要这一步了。）

然后，我们把y轴折弯过来，直到它缩成一个点。。。

这样，直角坐标就转换成极坐标啦！

@小天，懂了吗？

小天：额……应该……懂了吧。。。（小天有点晕。。。）

超模君：唉，看来你还是不懂，我再跟你说说吧。。。

我们把直线看作是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆。

此时我们逐渐降低曲率半径，从无限一直降到零，即是把y轴变成一个逐渐缩小的圆，直至到最后变成一个点。

而原来直角坐标的“y轴”所承载的信息，在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

注意：极坐标直角坐标

小天非常激动地留眼泪，心里默默想着：我要回去找我表妹炫（zhuang）耀（bi）了！！

本文由超级数学建模编辑整理

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