导数单调性的经典例题及答案（导数的单调性和连续性还有这样的关系）

今天老黄要利用拉格朗日中值定理的推论3，证明导函数单调则导函数必连续。即：

设f在(a,b)上可导，且f'单调，证明：f'在(a,b)上连续。

分析：我们不妨设f'在(a,b)上单调递增，单调递减也是一样的道理，则在(a,b)上的任意一个自变量x0, 都存在某一邻域U(x0)，包含于(a,b). 则在右邻域中，导函数单调增，就有下界；在左领域中，导函数单调增，就有上界。根据极限的单调有界性定理，就可以知道导函数在x0的两侧极限都存在。

接下来就可以运用拉格朗日中值定理的推论3了。即导数极限定理：设函数f在某U(x0)内连续, 在U⁰(x0)内可导, 而且lim(x->x0)f’(x)存在, 则f在点x0可导, 而且f’(x0)=lim(x->x0)f’(x).

我们来看看f和它的导函数f'是否符合这个推论。f在U(x0)上显然是连续且可导的，导函数在这个点的两侧极限刚刚被证明存在，因此这里仅能得到，导函数在这个点两侧都连续。

由于函数在这个点可导，因此左右导数相等，都等于函数在这个点的导数，所以导数的左右极限也相等，也都等于这个点的导数，这就说明导函数的确在这个点连续。

最后由x0的任意性，就可以证明导函数在(a,b)连续。接下来组织证明过程：

证：不妨设f’在(a,b)上单调递增，则

对任一x0∈(a,b)，必存在的x0某一邻域U(x0)⊂(a,b).

∵f’在U (x0)内单递增，∴有下界f’(x0)，

又f’在U-(x0)内单递增，∴有上界f’(x0)，

∴lim(x->x0^ )f’(x)和lim(x->x0^-)f’(x)都存在，由拉格朗日中值定理的推论3，有

lim(x->x0^ )f’(x)=f ’(x0)；lim(x->x0^-)f’(x)=f-’(x0)；

而f ’(x0)=f-’(x0)=f’(x0)，

∴lim(x->x0^ )f’(x)=lim(x->x0^-)f’(x),

由x0的任意性知，f’在(a,b)内连续.

当导函数单调减时，证明的方法类似，请自己尝试一下，加深印象。