关于函数的周期性和对称性（双对称函数的周期性）

实际上，数学是来自于生活，应用于生活。而数学中的函数更是应生活应用而生，记得以前有学生问我“老师，问什么要学习函数，还要学习它的性质，什么单调性、奇偶性、周期性”，我笑道“为什么要学，因为生活中有，生活需要我们数学更好的去解释世界，因为世界上存在大量的变化，所以我们有单调；世界上有着太多的对称美，所以我们研究奇偶；世界上还有太多的循环，要求我们研究周期！”我们都知道，也很容易证明轴对称在对称区间上单调性相反，中心对称图形在对称区间上单调性相同。那么对称性与周期之间具有什么样的关系呢？今天我们一起来研究他们俩有着什么样的关系！

我们先看一道简单的问题，已知函数f（x）在[0,1]的图像如下图所示，且f（x）的图像关于直线x=0和x=1对称，画出f（x）的图像，并判断函数f（x）的周期。

因为函数f（x）在[0,1]的图像如下图所示，且f（x）的图像关于直线x=0和x=1对称，我们按照对称性依次画出图像。（先按照x=1对称，x=0对称，x=1对称，x=0对称依次完成。）

由图不难判断出函数f（x）是周期为2的周期函数，周期恰好是两个对称轴的距离的2倍，巧合？还是一定？我们再推广出一般结论。若函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称，证明函数f（x）是周期函数，并求出周期。

证明如下：

我们接着看问题，已知函数f（x）在[0,2]的图像如下图所示，且f（x）的图像关于点（0，0）和点（2，0）对称，画出f（x）的图像，并判断函数f（x）的周期。

用同样的方法，我们可以得到f（x）的图像。如下图：

由图不难判断出函数f（x）是周期为4的周期函数，周期恰好是两个对称中心的距离的2倍，巧合？还是一定？我们再推广出一般结论。若函数f（x）的图像关于点（a，0）和点（b，0）对称，证明函数f（x）是周期函数，并求出周期。

证明如下：

第三个问题，已知函数f（x）在[0,1]的图像如下图所示，且f（x）的图像关于点（0，0）和直线x=1对称，画出f（x）的图像，并判断函数f（x）的周期。

同样，我们可以得到f（x）的图像。如下图：

由图不难判断出函数f（x）是周期为4的周期函数，周期恰好是对称中心和对称轴的距离的4倍，巧合？还是一定？我们再推广出一般结论。若函数f（x）的图像关于直线x=a和点（b，0）对称，证明函数f（x）是周期函数，并求出周期。

证明如下：

这样我们就可以得到三个结论。

实际上，利用结论解决问题是我们经常做的事情，对于我们来说，难的不是记忆结论，而是结论多的容易混淆，这儿有的是2倍，有的是4倍，怎么记忆，怎样记忆不会混淆，最后，我要出绝招了，记忆这三个结论并不难，首先记住一句话：双对称函数一定是周期函数，至于周期是多少？我先卖个关子，我们先看一个图像。

我们知道这是正弦函数图像的一部分，实际上我们在学习函数时原本就是通过三角函数认识周期性的，利用我们很熟悉的三角函数图像很容易判断出周期是两个对称轴之间距离的2倍，是两个对称中心之间距离的2倍，是对称轴和对称中心的4倍。是不是很轻松。周期是多少，你只需在草稿纸上画一个周期的正弦函数，一目了然。

或许有童鞋会说，我不知道正弦函数怎么画，怎么办？如果真是这样，我给你指两条路：一、取消对我的关注，可是这样你会错过太多数学中的美丽。第二条路，打开课本，认真学习，你一定会发现数学中的美丽，我们不缺发现美丽的眼睛，我们缺少的发现美丽的方法，而数学风景就是给你一双发现美丽的慧眼！！！！