直线与圆只有一个交点位置关系（解决所有直线与圆的位置关系问题）

小数老师说

今天这道题难度不大，小数老师主要通过这道题想让大家学会去审题，其实，在小数老师看来，审题首先要读懂题意，并能剥除掉不要的信息，提取有用的信息；如有难度大一点的，还可能需要你进行转化，转化为我们学过的知识，也就是我们常说的“潜台词”。

给大家说个小事，我想清一下我的好友，于是今天我在朋友圈发了一条信息，大意是：让大家按照格式“昵称 年级 省份 身份”给我单独小窗发给我一条信息，我好进行学生家长的分组，还附上了一个例子“小数老师 高三 山东 老师”！结果大家能想到吗？有大约30个家长和同学直接在下面评论里写了，有大约40个直接把我的例子改了一小部分，都是这样的“小数老师 XX XX XX”，第一个的时候，我问他，你的昵称也是小数老师吗？后面我就懒得问了！也可能会有同学说，老师，这个不是考试，当然没有仔细看，你了解就行了！

话是如此，但小数老师认为，如果在生活中，你碰上的一些事情按照规则做，可能会让你失去一些机会的！所以，请同学们在做题的时候，一定要审好题！加油，同学们！

分析

本题外形是一道集合题，考察了集合之间的关系；但是仔细观察集合中的元素，表示的是直线或曲线上的点，而集合的交集就是直线与曲线的位置关系了，因此，剥除掉集合的外衣，这道题属于解析几何的问题，至于这条曲线是圆还是椭圆，或者是双曲线、抛物线，那就要进行化简才知道了。通过化简，可以知道，本题中的曲线是圆。本题涉及到的知识点有：集合的表示，集合之间的关系，直线与曲线的位置关系等，下面跟着小数老师一起去回顾一下相关知识点。

回顾

1、集合的表示

集合的表示一般有列举法和描述法两种，顾名思义，列举法就是把所有的元素都在集合中一个个的表示出来，例如{1,2,3,8}等；描述法就是把集合中的元素所具有的性质描述出来，例如：{x|x>2}，这个集合表示的就是大于2的所有的实数。一般我们考试时90%会考察描述法。

对于{x|x∈P}来说，同学们要弄明白集合中的每一个符号的意思，才有助于解题。

{}表示集合复合，这个毋庸置疑；第一个x表示的是这个集合中的元素用什么符号表示，在这里是x，也可以是y,或者其他；竖线是一个分隔符；竖线后面表示的是元素的性质，高一的同学可以多了解下。

注意：如果x是从实数中取值，一般可以省略，例如{x|x>2}表示的是大于2的所有实数，而不是整数或有理数或者其他。

下面小数老师给大家介绍几类集合：

{x|f(x)=0}表示的是方程f(x)=0的根；

{x|f(x)>0}表示的是不等式f(x)>0的解集；

{x|y=f(x)} 表示的是函数y=f(x)的定义域；

{y|y=f(x)} 表示的是函数y=f(x)的值域；

{（x,y）|y=f(x)} 表示的是曲线y=f(x)上的点。

同学们，理解了吗？

2、直线与圆的位置关系

直线有五种表示方法，分别是：斜截式、点斜式、截距式、两点式与一般式。其中，斜指斜率，截指截距，点指直线经过的点。通过上面的描述，我们可以知道直线的5个方程了，还不了解的同学可以查查你的笔记了。

圆的表示有2种，标准方程与一般方程，其中标准方程可以直接看出圆的圆心，一般方程需要进行化简才能看出。

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切与相交。

判断直线与圆的位置关系的方法有2种，代数法与几何法，一般情况下用几何法即可。

也就是求出圆心到直线的距离，比较此距离与半径的关系，距离大于半径，相离；距离等于半径，相切；距离小于半径，相交。

这块的知识比较简单，小数老师就不赘述了，下面看这道题的解析。

解析

由，化简可得（y-1）^2=4-x^2,即x^2 （y-1）^2=4，其中y≥1,从方程可以看出，集合A表示的是以C(0，1)为圆心，半径为2的上半圆，

又因为直线y=k(x-2) 4的图像是恒过点P（2,4）的一条直线，

所以可知当集合A∩B有两个元素时，指的是直线与上半圆有两个交点，

由直线y=k(x-2) 4与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，得

解得k=5/12(舍负)

又因为直线经过半圆的左端点A(-2，1)时，它们有两个交点，可以得到k=3/4，

所以当直线夹在PA与PB之间（可与PA重合，不与PB重合）时，直线与上半圆有两个交点，所以可以得到k的取值范围。

所以答案为：B。

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