离散数学16个公式（老郭带你学数学）

打发业余时间的方法有很多，追剧的、看小说的、练书法的、学跳舞的……，不过我从来没见过业余时间学数学的。这是因为学数学的大脑中枢是人的痛苦中枢，大脑在处理数字和感受针刺是同一片区域，所以有的人学数学就头痛，这导致他们对数学产生天生逃避反应。越逃避，自然就越难学。不过今天老郭想用一种比较温柔的方式，以离散量和连续量为例，疗愈这种数学头痛。

我们可以说书架上有多少本书，但不能说杯子里有多少个水，对于水只能说多少而不能说多少个，因此多少个和多少的意义是不一样的。

书是分离、独立存在的，数学上把很多这样的分离的物体的集合叫做集，我们在数数目的时候，回答的时候要带上单位，比如书的单位是本，苹果则是个，羊可以用只等等，这类东西就称作离散量。

与这些带单位的离散量相比，测量有多少水这样的量就称作连续量。因为杯子里的水不是一个个分离的，而是连续变化的（不考虑物质的可分性）。不论杯子里的水分到多么微量也是水，不改变。把两杯水倒入同一个大杯中，是一大杯水，也没有接缝。像水这样能够自由地分开和结合的东西就被称为连续量。

在生活中离散量和连续量也不是绝对的。我的母亲跟我说过这样一件事，当年自然灾害的时候（1962年），家里有一小碗黄豆，可是全家有8口人，不够分，姥姥吧黄豆做成了豆浆，这样所有人就都能吃到黄豆了。姥姥把离散量的黄豆，变成了连续量的豆浆，从而解决了分黄豆的难题。

就像姥姥分黄豆这个例子那样，数学中的离散量和连续量概念是随着人类进化过程，在生产和生活中自然形成的。像摘果子这种，有自然数1、2、3……就够了，但如果是一个部落有30人，出去打了1头牛，7只羊这种情况，就需要把离散的量变成连续的量才好分。

是不是感觉回到了老郭擅长的物理啊，事实上，数学是一种抽象的思维方法，当然也包含着对物理操作的抽象。如前文所说的，那些离散的量，我们对其的操作是数（读属），而对于连续量，我们就需要进行测量。

比如随便抓两把黄豆比较那边的多，就可以找来两只碗，分别一个个放入黄豆，最后那边有剩余那边就多。但对于不可以数的连续量就不能这样操作了。比如比较两个人的身高，你可以让他们站在一起，谁的个头高一眼就能看出来。但如果是比较两个楼盘中的两栋楼，就不能把它们凑一块比较。

既然不能直接比较，自然就产生了间接比较的需要，出于间接比较的需要，就产生了单位。比如长度、时间、质量都是如此。随着不同地区的人大范围的比较需要，就产生了对于最基本的度量单位进行统一的需要，这种情况在中国秦朝的时候就出现了，叫做统一度量衡。

以测量距离为例，有一张弓的射程是150步，你自然会想到的是，把射程分割成150份，这里面的“步”就是最基本的测量单位，所以说测量离不开分割，连续量的测量，就是要把连续量分割成离散量进行数数后的比较。

还是以前面那张弓为例，测量实际射出去的箭的射程会发现，每次发射，射程都不是在精确的150步，可能会远一点，也有可能会近一点。那么差的那点怎么办呢？其实也好办，就是找来一根绳子长度等于标准步长的绳子。

通过折叠绳子使得折叠后的长度刚好等于差的那点距离就可以了。如果绳子被折成7折，那么这张弓本次发射的距离可以是150右1/7步或者是149右6/7步。很显然，用这样方法得到的是一个用分数来表达的连续量。

然而，用分数来表达一个连续量并不直观。回忆一下初中数学中我们学到的实数轴，就是一根标记有零点、正方向、两端无限延伸的直线。由于直线是连续的，可以无限细分下去的，这样就是不论多少都能分割。

而直线上点的位置，可以用小数来表示。比如身高是176厘米，可以表示成1.76米。用这样的表示方法，别说是比较两个楼盘中楼宇的高度，就是去比较两个星球上山峰的高度也行。同样的，所有的连续量都可以用这样的数轴来表示，或者用它在数轴上的坐标（数字）来表示。

相信您看到这里应该明白了，数学中的离散量和连续量是真实存在的，它们是具有离散性质和连续性质的所有物体的高度抽象。希望看完本篇文章的您，能多少疗愈一些数学逃避反应，也祝您能在数学的海洋中——乘风破浪。