线性代数系数矩阵的秩（特征值与矩阵的秩之间的关系）

题目给出了两个信息，第一个，是矩阵A有3个不同的特征值

由此可以得到矩阵A可以对角化，与对角矩阵P{λ1,λ2,λ3}相似

第二个条件，就是α3=α1 2α2

可以得到

图二

由此可知，A的其中一个特征值便为0

由于三个特征值不同，说明其他两个特征值都不为零，那么它的对角矩阵P为{λ1,λ2,0}

因为相似，所以可以得到r(P)=r(A)=2

要求Ax=β的通解，我们先来看看Ax=0的通解

很明显，通过条件α3=α1 2α2可以得到Ax=0的通解，如下图所示

图三

再根据β=α1 α2 α3可以得到

图四

即为

图五

那么最后就可以得到Ax=β的通解为

图六

图七，详细步骤如图