曲面与圆柱的截交线的三种情况（柱面和二次曲面）

已经了解向量向量微积分和空间微积分所必需的两种特殊曲面, 空间的球面和平面. 现在再来看柱面和二次曲面.

柱面(cylinder)是直线(母线)沿着一条给定曲线(准线)平行移动所形成的曲面. 请见下面动图:

双曲柱面 y2−z2=1y2−z2=1 由平行于 x 轴并且过 yOz 平面上的双曲线 y2−z2=1y2−z2=1 的直线构成. 柱面在垂直于 x 轴的平面上的截线双曲线. 观察下图:

其中 A, B, ..., K 是常数. 基本的二次曲面是椭球面, 抛物面, 椭圆锥面和双曲面.

观察下面动图在 (±a,0,0) , (0,±b,0) 和 (0,0,±c)截坐标轴, 三个坐标平面截曲面所得曲线都是椭圆. 其中 a = 3, b =4, c=5.

关于平面 x=0 和 y=0 对称. 曲面和轴的唯一交点是原点. 除这个点外, 曲面整个在 xy 平面上(若c>0) 或下方(若c<0). 观察下面 a=4, b=2, c=1 时的椭圆抛物面:

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