二次函数的讲解要注意哪些问题（应对二次函数复习）

二次函数作为初中数学的重要内容之一，在中考数学中，占据着重要的地位。如它可以单独命题，也可以二次函数相关知识内容为背景，结合其他数学知识内容，形成更为复杂的综合问题，像函数综合问题、二次函数与几何综合问题、二次函数的代数应用等等，这些题型都需要考生具有较强的知识应用能力，能把基础基础知识构筑成知识网络等。

每一年中考数学复习，老师都会强调二次函数的重要性，叮嘱学生做好二次函数的复习工作。不过，虽然大家都知道二次函数的重要性，但纵观历年中考数学试卷得分情况来看，很多考生在理解概念、记忆概念以及解题过程中，极易出现概念混淆、公式记忆吃力、解题错误多等问题，造成失分。

因此，今天我们结合教学实践、中考复习策略等，一起来探讨二次函数的复习策略，为大家提高在中考过程中能从容应对二次函数相关问题，提供一定的解题策略。

在中考数学中，二次函数会考什么？一般会涉及到二次函数的概念、图象与性质、函数综合问题、函数与几何等等。其中，函数综合问题、函数与几何是大家关心比较多、接触比较多的题型，往往对二次函数代数方面的应用接触比较少，这就造成一部分考生在考试中，遇见此类问题无从下手，找不到解题思路等。

二次函数作为初中代数的基础内容之一，也是最基础的初等函数，它具有丰富的内涵和外延，如可以用它来研究函数的增减性性、最值、对称性等性质，或是解决实际问题等等。

中考数学，二次函数代数应用，典型例题分析1：

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y=x-1的零点．

己知函数 y=x2-2mx-2（m 3）(m为常数)．

（1）当m＝0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且1/x1 1/x2=-1/4，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y=x-10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．

考点分析：

二次函数；一元二次方程；轴对称；一次函数。

题干分析：

（1）当m＝0时，该函数为y＝x2－6，令y＝0，则得相应的一元二次方程，解该方程即得此时该函数的零点．

（2）令y＝0，得一元二次方程x2－2mx－2(m＋3)＝0，对该方程的根的判别式的变形，可化为△＝（-2m）2-4[-2（m 3）]=4（m 1）2 20＞0，即得所证结论．

（3）如下图，在直线y＝x－10上找一点M，使MA＋MB的值最小，只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧，故可作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连结AB′，则AB′与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点．如何求出点B′的坐标是解决这个问题的关键：因△OCD是等腰直角三角形，故∠B′CD＝∠BCD＝45°

，从而∠BCB′＝90°，即B′（10，-6），最后利用待定系数法就容易求得直线AM的解析式了。

解题反思：

本试卷是双题压轴，这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、一次函数等诸多知识点，综合性很强，并且是阅读理解题。先通过新定义函数的零点概念，再由此设计由易到难的题组题，目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识。

最后一问绝对具有甄别功能，对基础中等的学生都会感到吃力，要想突破这个难点，只有先找使MA＋MB取最小值时的直线y＝x－10上的点M，求线段和的最小值就容易想到轴对称。最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标，从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式。

中考数学，二次函数代数应用，典型例题分析2：

一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的2/5，求横、竖彩条的宽度．

解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为3x/2cm，

∴y=20×3x/2 2×12•x﹣2×3x/2•x=﹣3x2 54x，

即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2 54x；

（2）根据题意，得：﹣3x2 54x=2/5×20×12，

整理，得：x2﹣18x 32=0，

解得：x1=2，x2=16（舍），

∴3x/2=3，

答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．

考点分析：

一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．

题干分析：

（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为3x/2cm，根据：三条彩条面积=横彩条面积 2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；

（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的2/5，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得。

在求解二次函数代数应用相关问题中，需要大家会求二次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、增减性、最值等等，而要想正确解决这些，有需要大家掌握好一元二次方程、因式分解、运算技巧等相关知识内容和方法技巧，要运用到代数方面许多有关知识和技能去解决问题，这无形之中加大了解题难度。

二次函数代数应用相关问题，具有一定的推理难度，需要考生具备一定的逻辑推理能力。随着中考改革不断加深，此类问题近几年还呈现出立意新颖、抽象程度高、灵活性大、解法多样等鲜明特点。

中考数学，二次函数代数应用，典型例题分析3：

一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．

（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为　 　元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为　 　元．

（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．

（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润＝（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．

解（1）10 7x；12 6x；

（2）y＝（12 6x）－（10 7x），

∴y＝2－x （0＜x＜2）；

（3）∵w＝2（1 x）•y＝－2（1 x）（x－2）＝－2x2 2x 4，

∴w＝－2（x－0.5）2 4.5

∵－2＜0，0＜x≤11，

∴w有最大值，

∴当x＝0.5时，w最大＝4.5（万元）．

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．

考点分析：

二次函数的应用；应用题。

题干分析：

（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10 10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12 12•0.5x）元/件；

（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y＝（12 6x）－（10 7x），然后整理即可；

（3）今年的年销售量为（2 2x）万件，再根据年销售利润＝（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量，得到w＝－2（1 x）（x－2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．

解题反思：

本题考查了二次函数的顶点式：y＝a（x－k）2 h，（a≠0），当a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当x＝k，函数的最大值为h．也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法。

二次函数是初中代数的重要内容之一，也是各地中考试题中重点考查的知识点之一，试题越来越重视对学生灵活运用知识的能力、探索创新能力和实践能力的考查。

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