中考热点试题（看中考命题新热点）

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确指出：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。

数学不只有公式、定理和无休止的运算，它还蕴含人文素养、理性精神、思想方法。在数学教育中渗透数学文化教育是数学教育发展的趋势，以数学文化为背景命制试题将成为中、高考的一大热点。将经典文化融入试题当中，既普及知识，又灵活考查了同学们的阅读、理解和应用能力。这也是核心素养背景下的数学教学所强调的，颇具引领作用。

随着新课程的实施，各地不同版本的新教材在编写时，都特别注意挖掘数学文化内涵，结合课程知识向学生展现古代数学及其理念、思想、方法在人类文化发展中的重要作用和地位，通过生动活泼的形式使学生感受丰富的数学文化熏陶．

那么数学文化怎么考呢？很多学生和教师颇感迷茫。与之相适应的，近年来各地的中考试题中，体现"数学文化"的试题不时出现，命题者通过设计相关的有历史背景的题目，展现数学文化价值，寓教育于考试之中，一方面发挥了试题的情感教育目标功能，另一方面对引导广大教师、学生对"数学文化"的关注也有十分积极的意义．

一、游戏、故事试题"智"趣相宜

例1．（2019•资中模拟）田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出﹣匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强．

（1）如果齐王将马按下中上的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵才能获胜？

（2）如果齐王将马按下中上的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）

【分析】（1）田忌的马按中、上、下的顺序出阵即可得．

（2）用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【解答】（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按下、中、上顺序出阵时，田忌的马按中、上、下的顺序出阵，田忌才能取胜；

（2）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率为1/6．

《孙子兵法》产生于春秋末期，是我国春秋时期军事斗争实践的理论总结，运筹学的早期著作，也是对策论和搏弈论的早期萌芽，选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景编制的这道考查概率的计算和应用的试题，趣味性很强，利于缓解考生考场的紧张心理，体现对考生的人文关怀，同时也彰显了运用整体最优思想的实际价值，趣味性和科学严谨性相得益彰．

二、古代名人、名题耐人回味

例2．（2019春•颍州区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：

"今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？"

译文："今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？

【解答】设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，

依题意，得：5x y=3,x 5y=2,，解得：x=13/24,y=7/24．

答：大容器的容积是13/24斛，小容器的容积是7/24斛．

例3．（2019•福建模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载"官兵分布"问题："一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数．"其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹．问官和兵各几人？

【解答】设官有x人，兵有y人，依题意，得：x 2y=1000,4x y/4=1000,.，解得：x=200,y=800．答：官有200人，兵有800人．

例4．（2019•甘肃中考题）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

【解答】设共有x人，根据题意得：x/3 2＝(x-9)/2，去分母得：2x 12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴(39-9)/2＝15，则共有39人，15辆车．

例题2至4涉及的数学著作，他们是中国数学史上的重要成就，里面涉及问题也是从小学到中学都可以研究和解答的问题，不同学段的教学目标不同。在中考试卷中出现这样的问题，解法各有优势，体现了数学学习的连续性和发展性，同时弘扬了中华民族文化。

三、数学家成果展示试题催人奋进

例5．（2019•咸宁中考题）勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一"．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为"赵爽弦图".2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是"赵爽弦图"的是（ ）

【解析】"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．

故选：B．

例6．（2019•宁波中考题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）

A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和

【解答】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，

由勾股定理得，c²＝a² b²，阴影部分的面积＝c²﹣b²﹣a（c﹣b）＝a²﹣ac ab＝a（a b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．

例7．（2019•邵阳中考题）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了"赵爽弦图"．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是______ ．

【解析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．

∵勾a＝6，弦c＝10，∴勾股定理可求得股＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，

∴小正方形的面积＝2²＝4故答案是：4

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽，他以"弦图"

为基本图形，利用出入相补原理证明了勾股定理，尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法，更具有科学创新的重大意义，"弦图"因此选作在北京召开的第22届国际数学家大会会标图案．以上两题选取这一背景，向学生充分展示我国古代数学家的杰出成果，利于激发学生的爱国热情和学习激情，"情感教育"与考试功能实现了有机结合．

这些试题在中考试题中的竞相亮相，借助中考的引领和导向作用，将推动数学文化真正渗入教材、进入课堂、融入教学，让数学教学变得生机勃勃、有血有肉、光彩照人，让我们的学生就会进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学．

尤其例题6，是融数学文化与经典于一体的关于勾股定理的PISA试题。勾股定理是历史文化长河中的一颗璀璨的明珠，而勾股图是一个经典的基本图形，所以此题是以勾股图为基本图形并结合相关核心知识编拟而成的PISA试题。它既可以对勾股三角形的边长或面积设元，通过代数运算、整体思想来完成，又可以用图形变换的方法解决，突出考查学生抽象思维等综合素养及应用知识解决或解释问题的能力。

无独有偶，2019年的全国高考数学卷中，有两题令人眼前一亮，初中的优等生也可轻快求解这些问题。

全国1卷理科数学第4题：

全国1卷理科数学第6题：

第4题以"断臂维纳斯"为例，探讨了黄金分割之美，第6题以我国古代典籍《周易》中的"卦"为背景设置了排列组合问题。这类以数学文化为背景的试题是今年高考的一大亮点，也成为了人们津津乐道的话题，而这种趋势正在逐渐向中考蔓延。究其原因，乃是新课程标准对数学文化的重视。

数学作为一门基础学科，应重视原理学习，教师在教学中要充分利用教材、挖掘教材资源，重视数学思想方法的提炼；学生在学习中，要重视基础、重视教材、学会使用教材、理解原理，积极思考、勤于动手、善于总结、注重反思，不断提升自身的数学素养，为未来学习奠定坚实的基础。素养的形成，是一个潜移默化的过程，需要学生真正参与数学活动，学会感悟，积累思考的方式和实践的经验，最终形成和发展核心素养。

尤其应反思的是应高度重视对基础知识、基本技能的理解与运用。在复习中引导学生回归教材，理解数学本质，真正发挥教材的示范引领作用与育人功能。还可以借助数学趣题、数学家故事等数学文化内容来激活课堂，激发学生的数学学习兴趣。

新课程改革正在启动，教师的专业水平和育人能力正朝着"理解数学、理解学生、理解教学"这一核心素养落实，中高考也应该与之衔接。试题更加不可能向高难度方向发展，今年各省市的试题就是体现。但数学三大能力的培养永远都是核心，打好双基，培养三大能力才是应考的王道。注重培养学生的逻辑推理、实践应用、数形结合、反思领悟等能力，重视培养和提高学生的运算能力与运算速度。

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