三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(1)

设想这样一个场景,面试官给了你一道算法题,你很快确定这是一道递推问题,并给出了 O(n) 的解题方法,然而面试官却继续问:“还能继续优化吗?”

这样类似的场景并不少见,因为算法不仅追求「正确」,还追求「效率」,而这也正是优化方法的意义。

本文即将介绍的「矩阵快速幂」便是一种常见的优化递推的方法,能将 O(n) 的递推过程加速至 O(log(n)),使效率显著提升。

一、矩阵运算

首先我们回顾一下「矩阵」,一个 n * m 的矩阵可以看作是一个 n * m 的二维数组,而矩阵的加减法就是将两个矩阵对应位置上的数相加减,即 C = A B 意味着矩阵 C 中任意一点

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(2)

其中 A, B, C 均为 n * m 的矩阵,具体例子如下:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(3)

矩阵乘法的运算稍微复杂一些,假设 A 是 n * m 的矩阵,B 是 m * p 的矩阵,则 C = A * B 是 n * p 的矩阵,且对于 C 中任意一点

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(4)

来说,满足:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(5)

即 C 中第 i 行、第 j 列的元素等于 A 中第 i 行与 B 中第 j 列所有元素对应相乘再相加,这也就意味着矩阵相乘时,第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数,具体例子如下:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(6)

另外,矩阵乘法满足结合律,即 (A * B) * C = A * (B * C),举例如下:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(7)

满足分配律,即 (A B) * C = A * C B * C,具体例子如下:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(8)

但不满足交换律,即 A * B 不一定等于 B * A,具体例子如下:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(9)

代码实现

我们将一个 n * m 的矩阵看作是一个 n * m 的二维数组,因此在 C 中我们用 vector<vector<int>> 来表示,矩阵相乘函数如下:

vector<vector<int>> matrix_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b) { int n = a.size(), m = a[0].size(), p = b[0].size(); vector<vector<int>> c(n, vector<int>(p, 0)); for (int i = 0; i < n; i ) for (int j = 0; j < p; j ) for (int k = 0; k < m; k ) c[i][j] = a[i][k] * b[k][j]; return c; }

在 Python3 中我们用 List[List[int]] 来表示,矩阵相乘函数如下:

def matrix_multiply(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]: n, m, p = len(a), len(a[0]), len(b[0]) c = [[0 for j in range(p)] for i in range(n)] for i in range(n): for j in range(p): for k in range(m): c[i][j] = a[i][k] * b[k][j] return c

二、快速幂

讲解「矩阵快速幂」前,我们需要回顾一下「快速幂」,完全没有了解过的同学建议翻阅「刷算法题必备的数学考点汇总 」中相关内容。

简单来说,「快速幂」就是通过将指数转化为二进制,并以此来加快幂运算,例如 2^31 中 31 满足:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(10)

其中 D 表示十进制,B 表示二进制。进一步地,2^31 的计算过程可以转变为:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(11)

因此我们只需从 1 开始计算 5 次求出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(12)

再将它们依次相乘,即可得到 2^31。

当计算 a^n(a 为任意实数)时,快速幂方法可以将原来的 O(n) 时间复杂度降低为 O(log(n)),从而大大加快指数运算。

三、矩阵快速幂

​接下来开始「矩阵快速幂」的介绍,首先以经典「斐波那契数列」为例进行讲解。

509. 斐波那契数

题目描述

斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

F(0) = 0,F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) F(n - 2),其中 n > 1

给你 n ,请计算 F(n) 。

示例 1

输入:2 输出:1 解释:F(2) = F(1) F(0) = 1 0 = 1

示例 2

输入:3 输出:2 解释:F(3) = F(2) F(1) = 1 1 = 2

示例 3

输入:4 输出:3 解释:F(4) = F(3) F(2) = 2 1 = 3

解题思路

此题是经典的递推问题,即

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(13)

我们可以很轻松地在 O(n) 时间复杂度内求出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(14)

但假如 n 很大呢?

当 n = 1e9 时,显然单纯的递推无法通过此题,因此我们用矩阵快速幂来加速递推过程。

首先我们需要构造矩阵,令

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(15)

则从

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(16)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(17)

的转移矩阵 B 为:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(18)

进一步地,我们可以得到:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(19)

由于矩阵乘法满足结合律,因此矩阵 B 的幂次运算也可以通过「快速幂」进行加速,例如:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(20)

因此本题我们可以通过快速计算

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(21)

再将其与矩阵

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(22)

相乘,即可得到

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(23)

将原来 O(n) 的递推加速至 O(log(n)) 的这一过程即为「矩阵快速幂」。

另外,由于

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(24)

中已包含

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(25)

因此只需计算

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(26)

具体细节见代码。

C 代码

class Solution { public: int fib(int n) { if (n < 2) return n; vector<vector<int>> q{{1, 1}, {1, 0}}; vector<vector<int>> res = matrix_pow(q, n - 1); return res[0][0]; } ​ vector<vector<int>> matrix_pow(vector<vector<int>>& a, int n) { vector<vector<int>> ret{{1, 0}, {0, 1}}; while (n > 0) { if (n & 1) ret = matrix_multiply(ret, a); n >>= 1; a = matrix_multiply(a, a); } return ret; } ​ vector<vector<int>> matrix_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b) { int n = a.size(), m = a[0].size(), p = b[0].size(); vector<vector<int>> c(n, vector<int>(p, 0)); for (int i = 0; i < n; i ) for (int j = 0; j < p; j ) for (int k = 0; k < m; k ) c[i][j] = a[i][k] * b[k][j]; return c; } };

Python3 代码

class Solution: def fib(self, n: int) -> int: if n < 2: return n q = [[1, 1], [1, 0]] res = self.matrix_pow(q, n - 1) return res[0][0] def matrix_pow(self, a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]: ret = [[1, 0], [0, 1]] while n > 0: if n & 1: ret = self.matrix_multiply(ret, a) n >>= 1 a = self.matrix_multiply(a, a) return ret ​ def matrix_multiply(self, a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]: n, m, p = len(a), len(a[0]), len(b[0]) c = [[0 for j in range(p)] for i in range(n)] for i in range(n): for j in range(p): for k in range(m): c[i][j] = a[i][k] * b[k][j] return c

运用「矩阵快速幂」加速递推过程时,首先需要确定递推公式,然后再根据递推公式,确定矩阵

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(27)

中究竟是

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(28)

还是

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(29)

或者包含更多。接下来再根据

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(30)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(31)

确定转移矩阵 B,最后应用快速幂计算 B 的幂次即可完成求解。

​接下来我们再通过一道例题加强对该解题思路的掌握。

面试题 08.01. 三步问题

题目描述

三步问题。有个小孩正在上楼梯,楼梯有 n 阶台阶,小孩一次可以上 1 阶、2 阶或 3 阶。实现一种方法,计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大,你需要对结果模 1000000007。

示例 1

输入:n = 3 输出:4 说明: 有四种走法

示例 2

输入:n = 5 输出:13

解题思路

首先确定本题的递推公式,令

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(32)

表示上 n 阶台阶的方法数,则不难发现

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(33)

接下来确定矩阵

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(34)

首先假设

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(35)

中仅包含

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(36)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(37)

由于我们需要用

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(38)

推出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(39)

根据之前的假设,

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(40)

中仅包含

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(41)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(42)

而推出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(43)

却需要

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(44)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(45)

因此假设不成立,即

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(46)

中应该包含

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(47)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(48)

由此我们可以确定转移矩阵 B,即

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(49)

由于求解

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(50)

只需求出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(51)

因此

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(52)

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(53)

中包含

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(54)

根据题意可得:

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(55)

由此使用快速幂求出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(56)

再与

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(57)

相乘即可在 O(log(n)) 的时间复杂度内求出

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(58)

另外本题需要对结果模 1000000007,即在矩阵乘法与最终答案计算时进行取模,具体细节见下述代码。

C 代码

class Solution { public: typedef long long ll; static const int mod = 1e9 7; int waysToStep(int n) { if (n < 3) return n; vector<vector<int>> q{{1, 1, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}}; vector<vector<int>> res = matrix_pow(q, n - 2); ll ans = res[0][0] * 2ll res[0][1] res[0][2]; return ans % mod; } ​ vector<vector<int>> matrix_pow(vector<vector<int>>& a, int n) { vector<vector<int>> ret = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}; while (n > 0) { if (n & 1) ret = matrix_multiply(ret, a); n >>= 1; a = matrix_multiply(a, a); } return ret; } ​ vector<vector<int>> matrix_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b) { int n = a.size(), m = a[0].size(), p = b[0].size(); vector<vector<int>> c(n, vector<int>(p, 0)); for (int i = 0; i < n; i ) for (int j = 0; j < p; j ) for (int k = 0; k < m; k ) c[i][j] = (c[i][j] (ll)a[i][k] * (ll)b[k][j] % mod) % mod; return c; } };

Python3 代码

class Solution: def waysToStep(self, n: int) -> int: if n < 3: return n q = [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]] res = self.matrix_pow(q, n - 2) ans = res[0][0] * 2 res[0][1] res[0][2] return ans % 1000000007 def matrix_pow(self, a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]: ret = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] while n > 0: if n & 1: ret = self.matrix_multiply(ret, a) n >>= 1 a = self.matrix_multiply(a, a) return ret ​ def matrix_multiply(self, a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]: n, m, p = len(a), len(a[0]), len(b[0]) c = [[0 for j in range(p)] for i in range(n)] for i in range(n): for j in range(p): for k in range(m): c[i][j] = (c[i][j] a[i][k] * b[k][j]) % 1000000007 return c

总结

「矩阵快速幂」是一种常见的递推优化方法,可以将 O(n) 的递推优化至 O(log(n)),具体算法流程如下:

  1. 确定递推式
  2. 确定矩阵 An 的维数
  3. 根据 An 和

三角形的特征面试试讲(面试必考的矩阵快速幂)(59)

确定转移矩阵 B

4.快速幂计算转移矩阵 B 的幂次

5.将 B 的幂次运算结果与A0 相乘得到最终答案 Fn

本文作者:Gene_Liu

声明:本文归 “力扣” 版权所有,如需转载请联系。

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页