十字相乘法因式分解练习（因式分解补充被教材删除的十字相乘法）

因式分解的方法很多，除了常用的一提二套三分组，还有换元法，添项、拆项法，待定系数法等等，十字相乘法是待定系数法里面的一种特殊情况，它的适用范围也非常广，不仅用于因式分解，在一元二次方程、二次函数相关题目也经常出现。所以我们今天就来研究一下十字相乘法。

不知道出于什么原因，在现行初中教材中，十字相乘法已经被删除，变成了选学内容，但是有经验的老师都会像上新课一样，把这部分知识传授给学生，毕竟它的作用显而易见。

类型1：二次项系数为1的二次三项式；

这种类型的题目，可以直接使用十字相乘法的基本公式：

十字相乘法公式

它们都有很明显的特征：

• 二次项系数为1
• 常数项是两个数的积
• 一次项系数等于常数项两因数的和

我们来看下面这两个例题：

例1：

虽然是十字交叉相乘，但是结果要把横着的两个部分组成一个因式，请注意这一点。

例2：

类型二：二次项系数不为1的二次三项式

一般形式：

这种类型用十字相乘法需要经过多次尝试，因为a和c都能分成两个因数的积，然后要交叉相乘求和，还要考虑符号，做题的时候一定要十分谨慎，不要因为符号或者漏写而丢分。

例3：

当数字比较大，或者是含有字母的整式时，数感的作用就出来了，数感，大家还有印象吗？

数学速算技巧（四）数感

上面这些例子都是一元的，也就是只含有一个未知数，那么，当我们碰到二元或者三元的因式分解题目时，又应该怎么做呢？

类型三：二元齐次三项式

顾名思义，就是含有两个未知数，且每一项的次数都相等的三项式。含有两个未知数，我们就要选择一个字母作为主元（主元法），另一个字母可以当作常数来看。

例4：

两个需要注意的地方：

• 有序地列出因数组合去尝试
• 试出一组确定组合就停
• 因为因式分解具有唯一性

除了上述三种基本类型外，还有很多复杂的因式分解可以使用十字相乘法，而且我前面也提到过，大多数的因式分解题目（包括分式相关题目），都不是仅用单一方法就可以分解彻底的，需要我们全方位，多角度去观察、思考、尝试，找到正确的思路，然后使用相对应的分解方法，再经过反复检查，才能确认结果是否正确，在平时的练习中，我们还应该把结果乘回去以验证是否能还原，这样也能增加我们的熟练度，考试时就能得心应手了。

来看一个比较复杂的十字相乘法例题：

例5：

例5只是提供一个解题思路，单纯就此题而言，是不必这么“脑残”的，直接化简重组，然后只提一个公因式就结束了，过程要简化得多，有兴趣的同学可以自己去试一试。此处主要是想提醒一下，要随时注意整体思想、化繁为简等思想方法的运用。

好了，下课！