1964年高考数学真题，1964年高考数学真题

大家好！本文和大家分享一道1964年高考数学真题。1964年高考数学试卷总共只有8道题，题量确实不大，但是8道题全部是解答题。本文和大家分享的这道题是当年试卷的第5题，这是一道考查三次方程的题目，可以说难住了现在很多的学生。

三次方程已经从如今的初高中教材中删除了，即使偶尔碰到三次方程的题目，一般也是可以直接通过因式分解来进行求解的。所以现在的大部分学生看到这个题后，都有一种无从下手的感觉。其实，要求解这道题就要用到三次方程根与系数的关系。

我们知道一元二次方程有根与系数的关系，其实一元三次方程同样有根与系数的关系。

设α、β、γ是方程ax^3 bx^2 cx d=0(a≠0)的三个根，那么α β γ=-b/a，αβ βγ γα=c/a，且αβγ=-d/a。这就是一元三次方程根与系数的关系。

回到题目，根据题意，由于原方程有两个相等的正实数根，所以可以设原方程的三个根分别为a、b、b，其中b＞0，所以根据根与系数的关系及题意可得：a b b=-m，ab ab b^2=-3，a·b·b=-n，a^2 b^2 b^2=6，即a 2b=-m①，2ab b^2=-3②，ab^2=-n③，a^2 2b^2=6④。

这是一个多元方程组，所以接下来需要进行消元。

由①得a=-m-2b，将其代入②和④，整理后得到3b^2 2mb-3=0和6b^2 4mb m^2-6=0。将前面的式子乘以2，得到6b^2 4mb-6=0，所以就有m^2-6=-6，解得m=0。那么3b^2-3=0，解得b=±1，又b＞0，所以b=1，则a=-2b=-2。最后，将a、b的值代入③即可求出n的值。

用根与系数的关系得到一个方程组后，还可以有其他的处理方法。④-②×2，可以得到a^2-4ab=12。再将①式两边平方，得到a^2 4ab 4b^2=m^2，然后将这两个式子相加，得到2a^2 4b^2=12 m^2。再结合④，可以得到12=12 m^2，从而解出m=0。后面用第一种解法的方法先求出a、b的值，最后求出n的值即可。

这道题难住了很多学生，主要原因就是很多学生不知道一元三次方程根与系数的关系。如果知道了根与系数的关系，列出了方程组，那么这道题也就不那么难了。你学会了吗？